Вычислить площадь ограниченную заданными линиями а) y=x2-2x-5 и y=-x2=x+1 б) y=x+4, y=-2x+1, x=1, x=3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями, необходимо определить точки их пересечения, выявить верхнюю и нижнюю границы интервала интегрирования и вычислить определенный интеграл. Задача А Линии: $y=x^2-2x-5$ и $y=-x^2+x+1$ 1. Нахождение точек пересечения Приравняем правые части уравнений: $x^2-2x-5=-x^2+x+1$ $2x^2-3x-6=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot (-6)=9+48=57$ $x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{57}}{4}$ Для удобства расчетов обозначим границы как $a=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$ и $b=\frac{3+\sqrt{57}}{4}$ . 2. Вычисление площади На интервале $[a,b]$ парабола ветвями вниз ( $y=-x^2+x+1$) находится выше параболы ветвями вверх ( $y=x^2-2x-5$). $S={\int }_a^b\left[\right(-x^2+x+1)-(x^2-2x-5\left)\right]dx={\int }_a^b(-2x^2+3x+6)dx$Находим первообразную: $F\left(x\right)=-\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+6x$ Подставляем пределы по формуле Ньютона-Лейбница: $S={[-\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+6x]}_a^b$ Для разности корней квадратного уравнения $A{x}^2+Bx+C=0$ существует формула площади сегмента: $S=\frac{D\sqrt{D}}{6A^2}$ . $S=\frac{57\sqrt{57}}{6\cdot 2^2}=\frac{57\sqrt{57}}{24}=\frac{19\sqrt{57}}{8}\approx 17.93\text{кв. ед.}$ Задача Б Линии: $y=x+4$, $y=-2x+1$, $x=1$, $x=3$ 1. Определение положения функций Проверим, какая функция выше на отрезке $[1,3]$:

• При $x=1$: $y_1=1+4=5$, $y_2=-2\left(1\right)+1=-1$. (Первая выше) При $x=3$: $y_1=3+4=7$, $y_2=-2\left(3\right)+1=-5$. (Первая выше)

2. Вычисление площади Площадь вычисляется как интеграл разности функций: $S={\int }_1^3\left[\right(x+4)-(-2x+1\left)\right]dx$ $S={\int }_1^3(3x+3)dx$Находим первообразную: $F\left(x\right)=\frac{3x^2}{2}+3x$ Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S=(\frac{3(3{)}^2}{2}+3(3\left)\right)-(\frac{3(1{)}^2}{2}+3(1\left)\right)$ $S=(\frac{27}{2}+9)-(\frac{3}{2}+3)$ $S=(13.5+9)-(1.5+3)$ $S=22.5-4.5=18\text{кв. ед.}$Ответ: а) $S=\frac{19\sqrt{57}}{8}\approx 17.93$ б) $S=18$ Хотите, чтобы я составил аналогичную задачу для закрепления материала или проверил решение другой задачи?