Провести полное исследование функции и построить ее график y(x) = 2x^2 - 6/(x-2)

Для проведения полного исследования функции $y\left(x\right)=2x^2-\frac{6}{x-2}$ воспользуемся стандартным алгоритмом. 1. Область определения и точки разрыва Функция определена везде, кроме значений, обращающих знаменатель в ноль.

• Область определения: $D\left(y\right)=(-\infty ;2)\cup (2;+\infty )$. Точка разрыва: $x=2$.

Исследуем характер разрыва:

• $\underset{x2-0}{\lim }(2x^2-\frac{6}{x-2})=[8-\frac{6}{-0}]=+\infty$ $\underset{x2+0}{\lim }(2x^2-\frac{6}{x-2})=[8-\frac{6}{\mathrm{+0}}]=-\infty$

Следовательно, $x=2$ — вертикальная асимптота. 2. Четность, нечетность и периодичность

• Четность: $y(-x)=2(-x{)}^2-\frac{6}{-x-2}=2x^2+\frac{6}{x+2}$ .
  $y(-x)\ne y\left(x\right)$ и $y(-x)\ne -y\left(x\right)$. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Периодичность: Функция не является периодической.

3. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$ (при $x=0$):
  $y\left(0\right)=2(0{)}^2-\frac{6}{0-2}=3$ . Точка (0, 3). С осью $Ox$ (при $y=0$):
  $2x^2-\frac{6}{x-2}=0⟹\frac{2x^2(x-2)-6}{x-2}=0$
  $2x^3-4x^2-6=0⟹x^3-2x^2-3=0$
  Приближенно корень уравнения $x\approx 2.48$. Точка (2.48, 0).

4. Асимптоты

• Вертикальная: $x=2$ (найдена выше). Наклонные ( $y=kx+b$):
  $k=\underset{x\pm \infty }{\lim }\frac{y\left(x\right)}{x}=\underset{x\pm \infty }{\lim }(2x-\frac{6}{x(x-2)})=\pm \infty$ .
  Так как предел бесконечен, наклонных и горизонтальных асимптот нет. При $x\pm \infty$ график ведет себя как парабола $y\approx 2x^2$.

5. Исследование по первой производной (экстремумы) Найдем производную: $y^{\prime }=(2x^2{)}^{\prime }-{\left(\frac{6}{x-2}\right)}^{\prime }=4x+\frac{6}{(x-2{)}^2}=\frac{4x(x-2{)}^2+6}{(x-2{)}^2}=\frac{4x(x^2-4x+4)+6}{(x-2{)}^2}=\frac{4x^3-16x^2+16x+6}{(x-2{)}^2}$ Найдем критические точки ( $y^{\prime }=0$): $4x^3-16x^2+16x+6=0⟹2x^3-8x^2+8x+3=0$ Методом подбора или численно находим корень: $x\approx -0.28$. Интервалы монотонности:

• $(-\infty ;-0.28)$: $y^{\prime }<0$ — функция убывает. $(-0.28;2)$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.

Экстремум: В точке $x\approx -0.28$ имеем минимум. $y\left(-0.28\right)\approx 2\left(0.08\right)-\frac{6}{-2.28}\approx 0.16+2.63\approx 2.79$ . 6. Исследование по второй производной (выпуклость) Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }={(4x+6(x-2{)}^{-2})}^{\prime }=4-12(x-2{)}^{-3}=4-\frac{12}{(x-2{)}^3}=\frac{4(x-2{)}^3-12}{(x-2{)}^3}$ Найдем точки перегиба ( $y^{\prime \prime }=0$): $4(x-2{)}^3=12⟹(x-2{)}^3=3⟹x-2=\sqrt[3]{3}⟹x=2+\sqrt[3]{3}\approx 3.44$ Интервалы выпуклости:

• $(-\infty ;2)$: $y^{\prime \prime }>0$ — график вогнут (выпуклый вниз). $(2;3.44)$: $y^{\prime \prime }<0$ — график выпуклый (вверх). $(3.44;+\infty )$: $y^{\prime \prime }>0$ — график вогнут (выпуклый вниз).

Точка перегиба: $x\approx 3.44$, $y\left(3.44\right)\approx 2\left(11.83\right)-\frac{6}{1.44}\approx 23.66-4.17\approx 19.49$ . 7. Сводная таблица характерных точек

Эскиз графика

1. Проведите вертикальную асимптоту $x=2$. Левая ветвь: идет из $+\infty$, спускается к минимуму $(-0.28;2.79)$, проходит через точку $(0;3)$ и уходит вверх вдоль асимптоты к $+\infty$. Правая ветвь: выходит из $-\infty$ снизу вдоль асимптоты $x=2$, пересекает ось $Ox$ в точке $2.48$, имеет точку перегиба в $(3.44;19.49)$ и круто уходит вверх.

Я могу помочь вам рассчитать дополнительные значения функции для более точного построения, если это необходимо.