25 задание математика плюс номер в задании 7

В контексте школьной математики «Задание 25» чаще всего встречается в ОГЭ (9 класс), где оно является самой сложной геометрической задачей с развернутым ответом. Ниже представлен подробный разбор одного из типовых вариантов этой задачи (условный «номер 7» из баз подготовки), посвященного отношению площадей треугольников. Задача (Типовой прототип №25) В треугольнике $ABC$ на медиане $BM$ отмечена точка $K$ так, что $BK:KM=6:7$. Прямая $AK$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $BKP$ к площади треугольника $ABK$. Подробное решение

1. Свойства медианы и площадей:
   • Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, она делит его на два равновеликих треугольника: $S_{ABM}=S_{CBM}=S$. Внутри треугольника $ABM$ точка $K$ делит медиану $BM$ в отношении $6:7$. Следовательно, высоты треугольников $ABK$ и $AKM$, проведенные из вершины $A$ к прямой $BM$, совпадают. Их площади относятся как основания:
     $S_{ABK}=\frac{6}{13}S,S_{AKM}=\frac{7}{13}S$
2. Работа с треугольником $AKC$:
   • В треугольнике $AKC$ отрезок $KM$ также является медианой (так как $M$ — середина $AC$). Значит:
     $S_{CKM}=S_{AKM}=\frac{7}{13}S$ Тогда общая площадь треугольника $AKC=S_{AKM}+S_{CKM}=\frac{14}{13}S$ .
3. Отношение площадей через общую вершину:
   • Заметим, что треугольники $ABK$ и $CBK$ имеют общее основание $BK$. Площадь $S_{CBK}=S_{CBM}-S_{CKM}=S-\frac{7}{13}S=\frac{6}{13}S$ . Таким образом, $S_{ABK}=S_{CBK}=\frac{6}{13}S$ .
4. Нахождение искомого отношения:
   • Пусть площадь треугольника $BKP$ равна $X$. Тогда площадь $PKC=S_{CBK}-X=\frac{6}{13}S-X$ . Используя свойство площадей треугольников, на которые прямая из вершины делит основной треугольник, получаем пропорцию:
     $\frac{S_{ABK}}{S_{BKP}}=\frac{S_{AKC}}{S_{PKC}}⟹\frac{\frac{6}{13}S}{X}=\frac{\frac{14}{13}S}{\frac{6}{13}S-X}$ После сокращения $S$ и решения уравнения относительно $X$, получаем:
     $X=\frac{9}{5}\cdot \frac{1}{13}S$ Итоговое отношение:
     $\frac{S_{BKP}}{S_{ABK}}=\frac{\frac{9}{65}S}{\frac{6}{13}S}=\frac{9}{65}\cdot \frac{13}{6}=\frac{3}{10}$

Ответ: $3:10$ (или $0,3$). Для подготовки к другим вариациям 25-го задания рекомендуется использовать Открытый банк заданий ФИПИ или специализированные ресурсы вроде Решу ОГЭ и Alex-Math. Требуется ли вам разбор другого типа задачи №25 (например, на доказательство или с окружностями)?