Дано: pe || nk mp=8 cm mn=12 cm me=6 cm найдите: а) mk б) pe:nk и) s треуг. mep : s т

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами подобия треугольников, возникающих при пересечении сторон угла параллельными прямыми. 1. Доказательство подобия треугольников Так как по условию $PE\parallel NK$, то углы при соответствующих вершинах равны как соответственные при параллельных прямых и секущих $MN$ и $MK$:

• $\angle MPE=\angle MNK$ $\angle MEP=\angle MKN$ $\angle M$ — общий угол.

Следовательно, $△MPE\sim △MNK$ по двум углам (первый признак подобия). 2. Решение пункта а) Найти MK Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{MP}{MN}=\frac{ME}{MK}$ Подставим известные значения ( $MP=8$ см, $MN=12$ см, $ME=6$ см): $\frac{8}{12}=\frac{6}{MK}$ Сократим дробь $\frac{8}{12}$ до $\frac{2}{3}$ : $\frac{2}{3}=\frac{6}{MK}$ $2\cdot MK=6\cdot 3$ $2\cdot MK=18$ $MK=9\text{см}$3. Решение пункта б) Найти отношение PE : NK Отношение сходственных сторон в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия $k$. Мы уже вычислили отношение сторон $MP$ и $MN$: $k=\frac{MP}{MN}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ Следовательно: $PE:NK=2:3\text{(или}\frac{2}{3})$ 4. Решение пункта и) Найти отношение площадей $S_{MEP}:S_{MNK}$ Согласно свойству подобных фигур, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ( $k^2$): $\frac{S_{MEP}}{S_{MNK}}=k^2$ Подставим значение $k=\frac{2}{3}$ : $\frac{S_{MEP}}{S_{MNK}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ Таким образом, отношение площадей равно $4:9$. Ответ: а) $MK=9$ см; б) $PE:NK=2:3$; и) $S_{MEP}:S_{MNK}=4:9$. Я могу также рассчитать периметры этих треугольников или найти длину отрезков $PN$ и $EK$, если это необходимо.