Сколькими нулями заканчивается произведение первых 2016 натуральных чисел?

Чтобы определить, сколькими нулями заканчивается произведение первых 2016 натуральных чисел (то есть число $2016!$), необходимо выяснить, сколько раз в разложении этого числа на простые множители встречается пара 2 и 5. Поскольку в ряду натуральных чисел двоек значительно больше, чем пятёрок, количество нулей будет равно суммарному количеству множителей 5 в разложении числа $2016!$. Метод решения Для нахождения количества простых множителей $p$ в числе $n!$ используется формула Лежандра: $E_p(n!)=\sum _{k=1}^{\infty }\lfloor \frac{n}{p^k}\rfloor =\lfloor \frac{n}{p}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^3}\rfloor +\dots$ Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$. Суммирование продолжается до тех пор, пока $p^k\le n$. Пошаговый расчет для $p=5$ и $n=2016$:

1. Делим на 5:
   $\lfloor 2016/5\rfloor =403$
   (каждое пятое число дает как минимум одну пятёрку) Делим на 25 ( $5^2$):
   $\lfloor 2016/25\rfloor =80$
   (числа, кратные 25, дают дополнительную пятёрку) Делим на 125 ( $5^3$):
   $\lfloor 2016/125\rfloor =16$
   (числа, кратные 125, дают еще одну пятёрку) Делим на 625 ( $5^4$):
   $\lfloor 2016/625\rfloor =3$
   (числа, кратные 625, дают четвертую пятёрку) Делим на 3125 ( $5^5$):
   $\lfloor 2016/3125\rfloor =0$
   (так как $3125>2016$, расчет окончен)

Итоговый результат: Складываем полученные значения: $403+80+16+3=502$Произведение первых 2016 натуральных чисел заканчивается на 502 нуля. Хотите, я помогу составить аналогичный расчет для другого большого числа или объясню принцип работы формулы Лежандра подробнее?