Интеграл от cosx^2dx

Интеграл вида $\int \cos \left(x^2\right)dx$ относится к категории неберущихся в элементарных функциях. Это означает, что его невозможно выразить через привычные функции (многочлены, тригонометрические, логарифмические или экспоненциальные). Результат вычисляется через специальную функцию — интеграл Френеля. 1. Определение через функции Френеля По определению, интеграл Френеля для косинуса записывается как: $C\left(x\right)={\int }_0^x\cos \left(\frac{\pi t^2}{2}\right)dt$ Для вычисления исходного интеграла $\int \cos \left(x^2\right)dx$ произведем замену переменной, чтобы привести аргумент к виду $\frac{\pi t^2}{2}$ . Пусть: $x^2=\frac{\pi t^2}{2}⟹x=t\sqrt{\frac{\pi }{2}}⟹dx=\sqrt{\frac{\pi }{2}}dt$ Тогда неопределенный интеграл принимает вид: $\int \cos \left(x^2\right)dx=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\int \cos \left(\frac{\pi t^2}{2}\right)dt=\sqrt{\frac{\pi }{2}}C\left(x\sqrt{\frac{2}{\pi }}\right)+C_{const}$ 2. Решение с помощью разложения в ряд Если необходимо получить численное значение или представить функцию в явном виде, используют разложение косинуса в ряд Тейлора: $\cos \left(u\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{u}^{2n}}{\left(2n\right)!}$ Подставим $u=x^2$: $\cos \left(x^2\right)=1-\frac{x^4}{2!}+\frac{x^8}{4!}-\frac{x^{12}}{6!}+\dots +\frac{(-1{)}^n{x}^{4n}}{\left(2n\right)!}$ Интегрируя этот ряд почленно, получаем: $\int \cos \left(x^2\right)dx=x-\frac{x^5}{5\cdot 2!}+\frac{x^9}{9\cdot 4!}-\frac{x^{13}}{13\cdot 6!}+\dots +\frac{(-1{)}^n{x}^{4n+1}}{(4n+1)\left(2n\right)!}+C_{const}$ 3. Определенный интеграл (Интеграл Эйлера) Несмотря на то что неопределенный интеграл не выражается в элементарных функциях, определенный интеграл на всей числовой прямой (от $0$ до $+\infty$) имеет точное значение: ${\int }_0^{\infty }\cos \left(x^2\right)dx=\sqrt{\frac{\pi }{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ Это значение широко используется в физике (в частности, в оптике при описании дифракции). Я могу рассчитать значение этого интеграла для конкретного диапазона или помочь с разложением других тригонометрических функций в ряды. Хотите, чтобы я сделал это?