Докажите, что значение выражения 7 (в 49 степи) -(минус) 2 кратно 5.

Для доказательства того, что значение выражения $7^{49}-2$ кратно $5$, необходимо подтвердить, что при делении этого числа на $5$ остаток равен $0$. Это можно сделать двумя основными способами: через анализ последней цифры или с помощью теории сравнений по модулю. Способ 1: Анализ последней цифры Число делится на $5$, если оно оканчивается на 0 или 5. Рассмотрим, как меняется последняя цифра степеней числа $7$:

• $7^1=7$ (последняя цифра 7) $7^2=49$ (последняя цифра 9) $7^3=343$ (последняя цифра 3) $7^4=2401$ (последняя цифра 1) $7^5=\mathrm{.}\mathrm{.}.7$ (цикл повторяется)

Заметим, что последовательность последних цифр $\{7,9,3,1\}$ имеет период, равный 4.

1. Чтобы найти последнюю цифру $7^{49}$, разделим показатель степени $49$ на период $4$:
   $49=4\cdot 12+1$ Остаток $1$ означает, что последняя цифра $7^{49}$ совпадает с последней цифрой $7^1$, то есть это 7. Вычислим последнюю цифру всего выражения:
   $7-2=5$

Так как результат оканчивается на 5, число $7^{49}-2$ делится на $5$ без остатка. Способ 2: Сравнение по модулю 5 Используем свойства модулярной арифметики для нахождения остатка от деления $7^{49}-2$ на $5$.

1. Найдем остаток от деления основания $7$ на $5$:
   $7\equiv 2\left(\mathrm{mod}5\right)$ Следовательно:
   $7^{49}\equiv 2^{49}\left(\mathrm{mod}5\right)$ Заметим, что $2^2=4$, а $4\equiv -1\left(\mathrm{mod}5\right)$. Преобразуем выражение:
   $2^{49}=2^{48}\cdot 2=(2^2{)}^{24}\cdot 2$ Подставим значение $-1$ вместо $2^2$:
   $(2^2{)}^{24}\cdot 2\equiv (-1{)}^{24}\cdot 2\left(\mathrm{mod}5\right)$Так как $\left(-1\right)$ в четной степени равно $1$:
   $1\cdot 2=2\left(\mathrm{mod}5\right)$ Теперь вычислим остаток для всего выражения $7^{49}-2$:
   $2-2\equiv 0\left(\mathrm{mod}5\right)$

Остаток равен 0, что и требовалось доказать. Вывод: Оба метода подтверждают, что выражение $7^{49}-2$ нацело делится на $5$. Хотите, чтобы я разобрал аналогичный пример с использованием малой теоремы Ферма?