Как найти площадь многоугольника

Question

Как найти площадь многоугольника

Горн786 21.03.2026 14:27

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Нахождение площади многоугольника зависит от его типа (правильный или произвольный) и имеющихся данных (координаты вершин, длины сторон или радиусы). 1. Площадь правильного многоугольника Если у многоугольника все стороны ( $a a$ ) и углы равны, а количество сторон равно $n n$ , используются следующие формулы:

Через апофему (радиус вписанной окружности $r r$ ):
$S = \frac{P \cdot r}{2} cap S equals the fraction with numerator cap P center dot r and denominator 2 end-fraction$ где $P cap P$ — периметр ( $n \cdot a n center dot a$ ). Только через длину стороны ( $a a$ ):
$S = \frac{n \cdot a^{2}}{4 \cdot \tan (\frac{180^{\circ}}{n})} cap S equals the fraction with numerator n center dot a squared and denominator 4 center dot tangent open paren the fraction with numerator 180 raised to the composed with power and denominator n end-fraction close paren end-fraction$

2. Метод координат (Формула Гаусса) Этот метод универсален для любого несамопересекающегося многоугольника, если известны координаты его вершин $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n}) open paren x sub 1 comma y sub 1 close paren comma open paren x sub 2 comma y sub 2 close paren comma … comma open paren x sub n comma y sub n close paren$ на плоскости. Площадь вычисляется по формуле «шнурования»: $S = \frac{1}{2} | (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{3} + \dots + x_{n} y_{1}) - (y_{1} x_{2} + y_{2} x_{3} + \dots + y_{n} x_{1}) | cap S equals one-half the absolute value of open paren x sub 1 y sub 2 plus x sub 2 y sub 3 plus … plus x sub n y sub 1 close paren minus open paren y sub 1 x sub 2 plus y sub 2 x sub 3 plus … plus y sub n x sub 1 close paren end-absolute-value$ Алгоритм расчета:

Выпишите координаты вершин в столбец (повторив первую пару в конце).
Перемножьте координаты крест-накрест (сверху вниз направо и сверху вниз налево).
Сложите результаты каждой группы.
Вычтите одну сумму из другой, возьмите модуль и разделите на 2.

3. Метод разбиения на простые фигуры Если многоугольник произвольный и его координаты неизвестны, используют геометрическую декомпозицию:

Разбиение на треугольники: Из одной вершины проводятся диагонали ко всем остальным. Площадь многоугольника будет равна сумме площадей полученных треугольников. Площадь каждого треугольника можно найти по формуле Герона или через высоту и основание.
Достраивание до прямоугольника: Многоугольник вписывают в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Из площади прямоугольника вычитают площади простых фигур (обычно прямоугольных треугольников), оказавшихся вне многоугольника.

4. Формула Пика (для решетчатых многоугольников) Если вершины многоугольника лежат в узлах квадратной сетки (целочисленные координаты), удобно использовать формулу Пика: $S = B + \frac{Γ}{2} - 1 cap S equals cap B plus the fraction with numerator cap gamma and denominator 2 end-fraction minus 1$ Где:

$B cap B$ — количество целых узлов сетки внутри многоугольника. $Γ cap gamma$ — количество узлов сетки, лежащих на границе (на сторонах и в вершинах).

Сводная таблица частных случаев

Фигура	Формула	Переменные
Прямоугольник	$S = a \cdot b cap S equals a center dot b$	стороны $a, b a comma b$
Параллелограмм	$S = a \cdot h cap S equals a center dot h$	основание $a a$ , высота $h h$
Трапеция	$S = \frac{a + b}{2} \cdot h cap S equals the fraction with numerator a plus b and denominator 2 end-fraction center dot h$	основания $a, b a comma b$ , высота $h h$
Произвольный четырехугольник	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} \sin α cap S equals one-half d sub 1 d sub 2 sine alpha$	диагонали $d_{1}, d_{2} d sub 1 comma d sub 2$ , угол между ними $α alpha$

Хотите, я помогу составить пошаговый расчет для конкретных координат или параметров вашего многоугольника?

Как найти площадь многоугольника

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов