Как проверить слово разрешается?

Для проверки написания слова разрешается необходимо разобрать его по составу и применить правила русского языка для каждой сомнительной буквы.

• Правописание корня
  В слове разрешается корень -реш-. В нем есть безударная гласная е, которую невозможно проверить обычным подбором однокоренного слова с ударением на этот слог (в словах реши́ть, реше́ние, реша́ть ударение падает на суффикс или окончание). Написание гласной е в корне следует запомнить или проверять по орфографическому словарю. Исторически слово связано с древним корнем, означавшим «развязывать, разрезать».
• Правописание приставки
  Приставка раз- пишется с буквой а, так как в безударном положении в приставках раз-/рас- (в отличие от ударных роз-/рос-, например, ро́счерк) всегда пишется а.
• Правописание суффикса и окончания
  1. Буква а после корня является суффиксом глагола несовершенного вида (разреш-а-ть).
  2. Окончание -ет указывает на 3-е лицо единственного числа. Чтобы проверить гласную в окончании, нужно определить спряжение: глагол разрешать оканчивается на -ать, не входит в список исключений, значит, относится к I спряжению, где пишутся окончания с буквой е (-ет, -ем, -ете).
• Отсутствие мягкого знака (-тся)
  Для проверки написания -тся без мягкого знака нужно задать к слову вопрос: (что делает?) — разрешается. Поскольку в вопросе нет мягкого знака, он не пишется и в самом глаголе.

Рекомендую также ознакомиться с правилами правописания личных окончаний глаголов, чтобы безошибочно определять гласные в формах других слов.