Log(основание 11)(х+2)+log(основание 11)(х-2)=log(основание 11)(2х)

Для решения уравнения ${\log }_{11}(x+2)+{\log }_{11}(x-2)={\log }_{11}\left(2x\right)$ воспользуемся свойствами логарифмов и определим область допустимых значений (ОДЗ). 1. Нахождение ОДЗ Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

• $x+2>0x>-2$ $x-2>0x>2$ $2x>0x>0$

Пересечением этих условий является интервал: $x\in (2;+\infty )$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$. ${\log }_{11}\left(\right(x+2\left)\right(x-2\left)\right)={\log }_{11}\left(2x\right)$Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $(x+2)(x-2)=2x$3. Решение квадратного уравнения Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $x^2-4=2x$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2-2x-4=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)=4+16=20$Находим корни уравнения: $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $x=\frac{2\pm \sqrt{20}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2}=1\pm \sqrt{5}$ Получаем два значения:

1. $x_1=1+\sqrt{5}$ $x_2=1-\sqrt{5}$

4. Проверка по ОДЗ

• $x_1=1+\sqrt{5}$ : Приблизительно $1+2.23=3.23$. Это число больше 2, значит, корень подходит. $x_2=1-\sqrt{5}$ : Приблизительно $1-2.23=-1.23$. Это число меньше 2, значит, корень не подходит по условию ОДЗ.

Ответ: $x=1+\sqrt{5}$ Я могу составить для вас аналогичное уравнение для закрепления навыка или помочь с разбором систем логарифмических уравнений. Хотите попробовать решить похожий пример?