Найдите значение выражения корень 3-й степени из(2 +квадратный корень из 5)+ корень 3-й степени из(2 - квадратный корень из 5)

Значение данного выражения равно 1. Шаг 1: Введение переменной и возведение в третью степень Обозначим искомое значение как $x$: $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ Для решения возведем обе части уравнения в куб, используя формулу сокращенного умножения $(a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$: $x^3=(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}{)}^3+(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}{)}^3+3\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})$ Шаг 2: Упрощение выражения Заметим, что сумма в последних скобках — это и есть наша переменная $x$. Вычислим значения отдельных частей:

1. Сумма кубов: $(2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})=4$ . Произведение подкоренных выражений: $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5}{)}^2=4-5=-1$ . Произведение корней: $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\sqrt[3]{-1}=-1$ .

Подставим полученные значения в уравнение: $x^3=4+3\left(-1\right)x$ $x^3=4-3x$Шаг 3: Решение кубического уравнения Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^3+3x-4=0$Легко заметить, что $x=1$ является корнем уравнения, так как $1^3+3\left(1\right)-4=1+3-4=0$. Чтобы проверить наличие других действительных корней, разложим многочлен на множители: $(x-1)(x^2+x+4)=0$Квадратное уравнение $x^2+x+4=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен: $D=1^2-4\cdot 1\cdot 4=-15$. Следовательно, единственный действительный корень уравнения — это 1. Ответ: 1 Требуется ли вам разложение подкоренных выражений в полные кубы для проверки результата альтернативным способом?