Найти производную y=-2x+1/4x+2

Для нахождения производной функции $y=\frac{-2x+1}{4x+2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ 1. Определение компонентов Обозначим числитель как $u$ и знаменатель как $v$:

• $u=-2x+1$ $v=4x+2$

2. Нахождение производных числителя и знаменателя

• $u^{\prime }=(-2x+1{)}^{\prime }=-2$ $v^{\prime }=(4x+2{)}^{\prime }=4$

3. Подстановка в формулу Теперь подставим полученные значения в формулу производной частного: $y^{\prime }=\frac{\left(-2\right)\cdot (4x+2)-(-2x+1)\cdot 4}{(4x+2{)}^2}$ 4. Раскрытие скобок и упрощение Раскроем скобки в числителе:

• $\left(-2\right)\cdot (4x+2)=-8x-4$ $(-2x+1)\cdot 4=-8x+4$

Теперь вычтем одно выражение из другого: $y^{\prime }=\frac{-8x-4-(-8x+4)}{(4x+2{)}^2}$ $y^{\prime }=\frac{-8x-4+8x-4}{(4x+2{)}^2}$ Слагаемые $-8x$ и $8x$ взаимно уничтожаются: $y^{\prime }=\frac{-8}{(4x+2{)}^2}$ 5. Дополнительное упрощение (опционально) Заметим, что в знаменателе можно вынести 2 за скобку: $(4x+2{)}^2=[2(2x+1){]}^2=4(2x+1{)}^2$ Тогда выражение примет вид: $y^{\prime }=\frac{-8}{4(2x+1{)}^2}=\frac{-2}{(2x+1{)}^2}$ Ответ: $y^{\prime }=-\frac{2}{(2x+1{)}^2}$ или $y^{\prime }=-\frac{8}{(4x+2{)}^2}$ Могу также исследовать эту функцию на экстремумы или построить график, если это необходимо.