Sin²x + 6sinxcosx + 8cos²x=0 3tgx – 6ctgx + 7=0

Решение первого уравнения Уравнение: ${\sin }^{2}x+6\sin x\cos x+8{\cos }^{2}x=0$ Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

1. Проверка $\cos x=0$:
   Если $\cos x=0$, то уравнение принимает вид ${\sin }^{2}x=0$, что невозможно, так как синус и косинус одного аргумента не могут одновременно равняться нулю (основное тригонометрическое тождество). Следовательно, $\cos x\ne 0$. Деление на ${\cos }^{2}x$:
   Разделим обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$:
   $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{6\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+\frac{8{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ ${\text{tg}}^{2}x+6\text{tg}x+8=0$ Замена переменной:
   Пусть $t=\text{tg}x$. Получаем квадратное уравнение:
   $t^2+6t+8=0$ Решение квадратного уравнения:
   По теореме Виета или через дискриминант:
   $D=6^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$
   $t_1=\frac{-6+2}{2}=-2$
   $t_2=\frac{-6-2}{2}=-4$ Обратная замена:
   • $\text{tg}x=-2⟹x=-\text{arctg}\left(2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $\text{tg}x=-4⟹x=-\text{arctg}\left(4\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\text{arctg}\left(2\right)+\pi n$; $-\text{arctg}\left(4\right)+\pi k$, где $n,k\in \mathbb{Z}$. Решение второго уравнения Уравнение: $3\text{tg}x-6\text{ctg}x+7=0$

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
   $\sin x\ne 0$ и $\cos x\ne 0$, следовательно, $x\ne \frac{\pi n}{2}$ . Преобразование уравнения:
   Используем связь $\text{ctg}x=\frac{1}{\text{tg}x}$ :
   $3\text{tg}x-\frac{6}{\text{tg}x}+7=0$ Приведение к общему знаменателю:
   Умножим все уравнение на $\text{tg}x$ (с учетом ОДЗ $\text{tg}x\ne 0$):
   $3{\text{tg}}^{2}x+7\text{tg}x-6=0$ Замена переменной:
   Пусть $a=\text{tg}x$.
   $3a^2+7a-6=0$ Решение квадратного уравнения:
   $D=7^2-4\cdot 3\cdot \left(-6\right)=49+72=121={11}^2$
   $a_1=\frac{-7+11}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
   $a_2=\frac{-7-11}{6}=\frac{-18}{6}=-3$ Обратная замена:
   • $\text{tg}x=\frac{2}{3}⟹x=\text{arctg}\left(\frac{2}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $\text{tg}x=-3⟹x=-\text{arctg}\left(3\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $\text{arctg}\left(\frac{2}{3}\right)+\pi n$ ; $-\text{arctg}\left(3\right)+\pi k$, где $n,k\in \mathbb{Z}$. Я могу выполнить отбор корней для этих уравнений на заданном промежутке, если это необходимо.