Найти производные dy/dx заданных функций: а) y= (2x+1)^1/4 б) y=ln(3x - 5) * e^-2x в) y=(2x+5)/(1 + sin2x) г) y=arctgx^3

Производные заданных функций: а) $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}\mathbf{/}\mathbf{4}}}$ ; б) $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{=}{\mathbf{e}}^{-2\mathbf{x}}\mathbf{(}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{2}\ln \mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)}$ ; в) $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\sin \mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{)}\cos \mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\sin \mathbf{2}\mathbf{x}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}$ ; г) $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathbf{x}}^{\mathbf{6}}}$ . ️ Шаг 1: Дифференцирование степенной функции Для функции $y=(2x+1{)}^{1/4}$ используем правило производной сложной функции $\frac{d}{dx}\left[u^n\right]=n{u}^{n-1}\cdot u^{\prime }$ .

1. Внешняя функция: $u^{1/4}$, её производная $\frac{1}{4}{u}^{-3/4}$ . Внутренняя функция: $u=2x+1$, её производная $u^{\prime }=2$. Итого: $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4}(2x+1{)}^{-3/4}\cdot 2=\frac{1}{2(2x+1{)}^{3/4}}$ .

️ Шаг 2: Дифференцирование произведения функций Для функции $y=\ln (3x-5)\cdot e^{-2x}$ используем правило $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

1. $u=\ln (3x-5)u^{\prime }=\frac{1}{3x-5}\cdot 3=\frac{3}{3x-5}$ . $v=e^{-2x}{v}^{\prime }=e^{-2x}\cdot \left(-2\right)=-2e^{-2x}$. Собираем вместе: $\frac{dy}{dx}=\frac{3}{3x-5}\cdot e^{-2x}+\ln (3x-5)\cdot \left(-2e^{-2x}\right)=e^{-2x}(\frac{3}{3x-5}-2\ln (3x-5\left)\right)$ .

️ Шаг 3: Дифференцирование частного Для функции $y=\frac{2x+5}{1+\sin 2x}$ используем правило $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ .

1. $u=2x+5u^{\prime }=2$. $v=1+\sin 2x{v}^{\prime }=\cos 2x\cdot 2=2\cos 2x$. Подставляем: $\frac{dy}{dx}=\frac{2(1+\sin 2x)-(2x+5)\left(2\cos 2x\right)}{(1+\sin 2x{)}^2}$ .

️ Шаг 4: Дифференцирование обратной тригонометрической функции Для функции $y=\text{arctg}\left(x^3\right)$ используем правило $\frac{d}{dx}\left[\text{arctg}\right(u\left)\right]=\frac{1}{1+u^2}\cdot u^{\prime }$ .

1. $u=x^3{u}^2=x^6$. $u^{\prime }=3x^2$. Итого: $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+(x^3{)}^2}\cdot 3x^2=\frac{3x^2}{1+x^6}$ .

Ответ: а) $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}\mathbf{/}\mathbf{4}}}$ б) $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{=}{\mathbf{e}}^{-2\mathbf{x}}(\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{2}\ln \mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{\left)}\right)$ в) $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{2}\sin \mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}10\mathbf{)}\cos \mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\sin \mathbf{2}\mathbf{x}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}$ г) $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathbf{x}}^{\mathbf{6}}}$ Требуется ли вам помощь с поиском экстремумов данных функций или проведением полного исследования их графиков?