Показательные уравнения 5^(2x)-2*5^x-15=0

Для решения показательного уравнения $5^{2x}-2\cdot 5^x-15=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение замены Заметим, что $5^{2x}$ можно представить как $(5^x{)}^2$. Пусть: $5^x=t$ Важное условие: так как показательная функция всегда положительна, то $t>0$. 2. Составление и решение квадратного уравнения Подставим $t$ в исходное уравнение: $t^2-2t-15=0$Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета.

• Сумма корней: $t_1+t_2=2$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-15$

Корни уравнения: $t_1=5$ $t_2=-3$ 3. Обратная замена Проверим полученные значения переменной $t$ на соответствие условию $t>0$:

1. Для $t_1=5$:
   $5^x=5$ $5^x=5^1$ $x=1$ Для $t_2=-3$:
   $5^x=-3$Так как $5^x$ всегда больше нуля для любого действительного $x$, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: $x=1$ Я могу составить для вас несколько аналогичных примеров для закрепления материала или разобрать более сложные показательные уравнения с разными основаниями.