Решить простейшее уравнение sin(2x-пи/2)=корень из 2/2

Для решения уравнения $\sin (2x-\frac{\pi }{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ воспользуемся общей формулой для корней тригонометрического уравнения $\sin \left(t\right)=a$. 1. Общая формула Для уравнения $\sin \left(t\right)=A$, где $\left|A\right|\le 1$, решение записывается в виде: $t=(-1{)}^k\cdot \arcsin (A)+\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$В нашем случае:

• Аргумент $t=2x-\frac{\pi }{2}$ Значение $A=\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Пошаговое решение Шаг 1: Находим значение арксинуса Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi }{4}$ . Шаг 2: Подставляем значения в формулу $2x-\frac{\pi }{2}=(-1{)}^k\cdot \frac{\pi }{4}+\pi k$ Шаг 3: Изолируем слагаемое с переменной $x$ Переносим $-\frac{\pi }{2}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $2x=\frac{\pi }{2}+(-1{)}^k\cdot \frac{\pi }{4}+\pi k$ Шаг 4: Находим $x$ Делим все части уравнения на 2: $x=\frac{\pi }{4}+(-1{)}^k\cdot \frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2}$ 3. Альтернативная запись (разбиение на две серии) Иногда удобнее записывать ответ в виде двух отдельных совокупностей корней:

1. Для четных $k$ ( $2x-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}+2\pi n$ ):
   $2x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}+2\pi n⟹2x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n⟹x=\frac{3\pi }{8}+\pi n$ Для нечетных $k$ ( $2x-\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$ ):
   $2x=\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{4}+2\pi n⟹2x=\frac{5\pi }{4}+2\pi n⟹x=\frac{5\pi }{8}+\pi n$

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+(-1{)}^k\cdot \frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь отобрать корни этого уравнения на заданном промежутке, если это необходимо.