Y=(x+1)(3-x) y=4 x=3

Для решения данной задачи необходимо найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой $Y=(x+1)(3-x)$ и прямыми $y=4$, $x=3$. 1. Анализ функций Раскроем скобки в уравнении параболы, чтобы привести её к стандартному виду: $Y=(x+1)(3-x)=3x-x^2+3-x=-x^2+2x+3$

• График: Ветви параболы направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Вершина параболы:
  $x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\left(-1\right)}=1$ .
  $y_v=-(1{)}^2+2(1)+3=4$.
  Таким образом, точка $(1,4)$ является вершиной параболы.

2. Определение границ интегрирования Фигура ограничена:

1. Сверху прямой $y=4$.
2. Снизу параболой $y=-x^2+2x+3$.
3. Справа вертикальной прямой $x=3$.
4. Слева точкой пересечения параболы и прямой $y=4$.

Найдем точку пересечения $y=4$ и $y=-x^2+2x+3$: $-x^2+2x+3=4$ $-x^2+2x-1=0$ $x^2-2x+1=0$ $(x-1{)}^2=0x=1$Пределы интегрирования: от $a=1$ до $b=3$. 3. Вычисление площади Площадь $S$ вычисляется как интеграл разности верхней функции $f\left(x\right)=4$ и нижней функции $g\left(x\right)=-x^2+2x+3$: $S={\int }_1^3(4-(-x^2+2x+3\left)\right)dx$ $S={\int }_1^3(x^2-2x+1)dx$ $S={\int }_1^3(x-1{)}^{2}dx$Вычислим первообразную: $S={\left[\frac{(x-1{)}^3}{3}\right]}_1^3$ Подставим верхний и нижний пределы: $S=\frac{(3-1{)}^3}{3}-\frac{(1-1{)}^3}{3}$ $S=\frac{2^3}{3}-0=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$ Ответ: Площадь фигуры составляет $2\frac{2}{3}$ (или приблизительно 2.67) квадратных единиц. Я могу также составить таблицу значений для этих функций, чтобы вам было удобнее построить график на бумаге. Хотите, чтобы я это сделал?