Решите неравнство а) log3x-1 16 < 2 б) logx-2 27 < 3

Ниже представлено подробное решение логарифмических неравенств. а) ${\log }_{3x-1}16<2$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице:

• $3x-1>03x>1x>\frac{1}{3}$ $3x-1\ne 13x\ne 2x\ne \frac{2}{3}$
  ОДЗ: $x\in (\frac{1}{3};\frac{2}{3})\cup (\frac{2}{3};+\infty )$ .

2. Решение неравенства: Представим число $2$ как логарифм по основанию $(3x-1)$: ${\log }_{3x-1}16<{\log }_{3x-1}(3x-1{)}^2$Рассмотрим два случая в зависимости от основания:

• Случай 1: Основание $0<3x-1<1$ (т.е. $\frac{1}{3}<x<\frac{2}{3}$ )
  При таком основании знак неравенства меняется на противоположный:
  $16>(3x-1{)}^2$
  $16>9x^2-6x+1$
  $9x^2-6x-15<0$
  Разделим на 3: $3x^2-2x-5<0$.
  Корни уравнения $3x^2-2x-5=0$: $x_1=-1$, $x_2=\frac{5}{3}$ .
  Решение: $-1<x<\frac{5}{3}$ .
  С учетом условия случая: $x\in (\frac{1}{3};\frac{2}{3})$ . Случай 2: Основание $3x-1>1$ (т.е. $x>\frac{2}{3}$ )
  Знак неравенства сохраняется:
  $16<(3x-1{)}^2$
  $9x^2-6x-15>0$
  $3x^2-2x-5>0$
  Решение: $x<-1$ или $x>\frac{5}{3}$ .
  С учетом условия случая: $x\in (\frac{5}{3};+\infty )$ .

Ответ а): $x\in (\frac{1}{3};\frac{2}{3})\cup (\frac{5}{3};+\infty )$ . б) ${\log }_{x-2}27<3$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ):

• $x-2>0x>2$ $x-2\ne 1x\ne 3$
  ОДЗ: $x\in (2;3)\cup (3;+\infty )$.

2. Решение неравенства: Представим $3$ как ${\log }_{x-2}(x-2{)}^3$: ${\log }_{x-2}27<{\log }_{x-2}(x-2{)}^3$Рассмотрим два случая:

• Случай 1: Основание $0<x-2<1$ (т.е. $2<x<3$)
  Знак неравенства меняется:
  $27>(x-2{)}^3$
  Извлечем кубический корень: $3>x-2x<5$.
  С учетом условия случая: $x\in (2;3)$. Случай 2: Основание $x-2>1$ (т.е. $x>3$)
  Знак неравенства сохраняется:
  $27<(x-2{)}^3$
  Извлечем кубический корень: $3<x-2x>5$.
  С учетом условия случая: $x\in (5;+\infty )$.

Ответ б): $x\in (2;3)\cup (5;+\infty )$. Я могу также помочь с решением систем неравенств или исследованием этих функций. Хотите, чтобы я разобрал графический метод решения для одного из этих примеров?