F(x)=(3x+4)√x. найдите f' (1) - f(1)

Для решения данной задачи необходимо сначала найти значение функции $f\left(1\right)$, затем найти производную функции $f^{\prime }\left(x\right)$, вычислить её значение в точке $x=1$ и, наконец, найти разность. 1. Вычисление значения функции $f\left(1\right)$ Подставим $x=1$ в исходное выражение $f\left(x\right)=(3x+4)\sqrt{x}$ : $f\left(1\right)=(3\cdot 1+4)\cdot \sqrt{1}=(3+4)\cdot 1=7$ 2. Нахождение производной $f^{\prime }\left(x\right)$ Функция представляет собой произведение двух выражений: $u\left(x\right)=3x+4$ и $v\left(x\right)=\sqrt{x}$ . Воспользуемся формулой производной произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

1. Находим производные составляющих:
   • $u^{\prime }=(3x+4{)}^{\prime }=3$ $v^{\prime }=(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
2. Составляем общую производную:
   $f^{\prime }\left(x\right)=3\cdot \sqrt{x}+(3x+4)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Для удобства вычислений можно упростить выражение, но для подстановки числа это не обязательно. 3. Вычисление значения производной $f^{\prime }\left(1\right)$ Подставим $x=1$ в полученную формулу производной: $f^{\prime }\left(1\right)=3\cdot \sqrt{1}+(3\cdot 1+4)\cdot \frac{1}{2\sqrt{1}}$ $f^{\prime }\left(1\right)=3+7\cdot \frac{1}{2}$ $f^{\prime }\left(1\right)=3+3.5=6.5$4. Нахождение искомой разности $f^{\prime }\left(1\right)-f\left(1\right)$ Используем полученные значения:

• $f^{\prime }\left(1\right)=6.5$ $f\left(1\right)=7$

$f^{\prime }\left(1\right)-f\left(1\right)=6.5-7=-0.5$Ответ: $-0.5$