Решите уравнение:(x+1)^4+(x+1)^2-6=0

Для решения уравнения $(x+1{)}^4+(x+1{)}^2-6=0$ удобнее всего воспользоваться методом введения новой переменной. 1. Введение замены Заметим, что уравнение является биквадратным относительно выражения $(x+1)$. Пусть: $t=(x+1{)}^2$При этом важно учитывать, что так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то $t\ge 0$. 2. Решение квадратного уравнения Подставим $t$ в исходное уравнение: $t^2+t-6=0$Найдем корни через дискриминант $D=b^2-4ac$: $D=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$ $\sqrt{D}=5$ Находим значения $t$: $t_1=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$ $t_2=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$ 3. Обратная замена Проверим полученные корни на соответствие условию $t\ge 0$:

1. $t_1=2$: Подходит, так как $2>0$. $t_2=-3$: Не подходит, так как значение квадрата $(x+1{)}^2$ не может быть отрицательным в области действительных чисел.

Работаем с первым корнем: $(x+1{)}^2=2$Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: $x+1=\sqrt{2}\text{или}x+1=-\sqrt{2}$ Отсюда получаем два значения для $x$:

1. $x_1=-1+\sqrt{2}$ $x_2=-1-\sqrt{2}$

Ответ: $x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$