Решите уравнения: 1)tgx=2-tg^2x 2)2sin^2x+cos^2x-3sinx-5=0

Ниже представлено подробное решение предложенных тригонометрических уравнений. 1) Решение уравнения $\tan x=2-{\tan }^{2}x$ Это уравнение является квадратным относительно $\tan x$. 1. Приведение к стандартному виду: Перенесем все члены уравнения в левую часть: ${\tan }^{2}x+\tan x-2=0$2. Замена переменной: Пусть $\tan x=t$. Тогда уравнение принимает вид: $t^2+t-2=0$3. Решение квадратного уравнения: Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней $t_1+t_2=-1$ Произведение корней $t_1\cdot t_2=-2$

Отсюда:

• $t_1=1$ $t_2=-2$

4. Обратная замена:

• Случай 1: $\tan x=1$
  $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\tan x=-2$
  $x=\arctan \left(-2\right)+\pi n$Используя свойство арктангенса $\arctan (-a)=-\arctan a$:
  $x=-\arctan \left(2\right)+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$ ; $x=-\arctan \left(2\right)+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$. 2) Решение уравнения $2{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-3\sin x-5=0$ Для решения необходимо привести уравнение к одной тригонометрической функции. 1. Преобразование уравнения: Используем основное тригонометрическое тождество ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$: $2{\sin }^{2}x+(1-{\sin }^{2}x)-3\sin x-5=0$2. Упрощение: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: ${\sin }^{2}x-3\sin x-4=0$3. Замена переменной: Пусть $\sin x=y$, где $\left|y\right|\le 1$. $y^2-3y-4=0$4. Решение квадратного уравнения: Корни уравнения по теореме Виета:

• $y_1=4$ $y_2=-1$

5. Анализ корней и обратная замена:

• Для $y_1=4$:
  Уравнение $\sin x=4$ не имеет решений, так как область значений функции синус — отрезок $[-1,1]$, а $4>1$. Для $y_2=-1$:
  $\sin x=-1$Это частный случай на тригонометрической окружности:
  $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . Если вам необходимо отобрать корни на определенном промежутке для этих уравнений, я могу помочь с этим расчетом.