Sin x/3=-√2/2

Для решения уравнения $\sin \frac{x}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ воспользуемся общей формулой для нахождения корней тригонометрического уравнения вида $\sin t=a$. 1. Нахождение значений для аргумента Аргументом в данном случае является выражение $\frac{x}{3}$ . Вспомним, что значение синуса равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках $-\frac{\pi }{4}$ и $-\frac{3\pi }{4}$ (или, используя общую формулу, $(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{4}$ ). Запишем совокупность решений:

1. $\frac{x}{3}=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ $\frac{x}{3}=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$

Где $k$ — любое целое число ( $k\in \mathbb{Z}$). 2. Изолирование переменной x Чтобы найти $x$, необходимо умножить обе части уравнений на 3:

• Первая ветвь решений:
  $x=3\cdot (-\frac{\pi }{4}+2\pi k)$ $x=-\frac{3\pi }{4}+6\pi k$ Вторая ветвь решений:
  $x=3\cdot (-\frac{3\pi }{4}+2\pi k)$ $x=-\frac{9\pi }{4}+6\pi k$

3. Запись общего решения Также решение можно записать в виде единой формулы через арксинус: $\frac{x}{3}=(-1{)}^n\arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\pi n$ $\frac{x}{3}=(-1{)}^n(-\frac{\pi }{4})+\pi n$ $\frac{x}{3}=(-1{)}^{n+1}\frac{\pi }{4}+\pi n$ Умножаем на 3: $x=(-1{)}^{n+1}\frac{3\pi }{4}+3\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=-\frac{3\pi }{4}+6\pi k$ и $x=-\frac{9\pi }{4}+6\pi k$ (или в компактном виде $x=(-1{)}^{n+1}\frac{3\pi }{4}+3\pi n$ ), где $k,n\in \mathbb{Z}$. Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на определенном промежутке?