Исследовать функцию и построить ее график. f(x) = x* +3x + 2.

Для исследования функции $f\left(x\right)=x^2+3x+2$ (предполагая, что опечатка $x*$ означает $x^2$, так как это стандартный вид квадратичной функции) воспользуемся общим алгоритмом анализа. 1. Область определения и область значений

• Область определения ( $D\left(f\right)$): Поскольку это многочлен, функция определена для всех действительных чисел: $x\in (-\infty ;+\infty )$. Область значений ( $E\left(f\right)$): Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Минимальное значение достигается в вершине.
  $y_{min}=f\left(-1.5\right)=(-1.5{)}^2+3(-1.5)+2=2.25-4.5+2=-0.25$Следовательно, $y\in [-0.25;+\infty )$.

2. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$ (при $x=0$):
  $f\left(0\right)=0^2+3\left(0\right)+2=2$. Точка (0; 2). С осью $Ox$ (при $f\left(x\right)=0$):
  $x^2+3x+2=0$.
  По теореме Виета или через дискриминант ( $D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=1$):
  $x_1=\frac{-3+1}{2}=-1$ ; $x_2=\frac{-3-1}{2}=-2$ .
  Точки: (-1; 0) и (-2; 0).

3. Четность и периодичность

• $f(-x)=(-x{)}^2+3(-x)+2=x^2-3x+2$. $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$. Функция ни четная, ни нечетная. Функция не является периодической.

4. Экстремумы и интервалы монотонности Найдем производную функции: $f^{\prime }\left(x\right)=2x+3$ Приравняем к нулю для поиска критических точек: $2x+3=0x=-1.5$.

• На интервале $(-\infty ;-1.5)$: $f^{\prime }\left(x\right)<0$ — функция убывает. На интервале $(-1.5;+\infty )$: $f^{\prime }\left(x\right)>0$ — функция возрастает. В точке $x=-1.5$ имеем минимум. Координаты вершины параболы: (-1.5; -0.25).

5. Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=2$Так как $f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$ на всей области определения, график функции везде выпуклый вниз (вогнутый), точек перегиба нет. 6. Сводная таблица для построения

7. Описание графика Графиком функции является парабола с вершиной в точке (-1.5; -0.25).

1. Ось симметрии: прямая $x=-1.5$. Направление ветвей: вверх. Проходит через точки $(-2;0)$, $(-1;0)$ и $(0;2)$.

Я могу составить для вас аналогичное исследование для более сложной функции, например, дробно-рациональной с асимптотами. Желаете продолжить?