Сколько натуральных чисел меньших 32768 существует, чья запись в двоичной системе счисления содержит нечетное количество единиц и является симметричным числом?

Чтобы найти количество таких чисел, необходимо проанализировать структуру двоичной записи симметричных чисел (палиндромов) в заданном диапазоне. 1. Определение диапазона Число $32768$ — это $2^{15}$. Следовательно, нас интересуют натуральные числа, имеющие в двоичной записи от 1 до 15 бит. 2. Свойства двоичных палиндромов Двоичное число является палиндромом, если его первая и последняя цифры совпадают. Поскольку натуральное число не может начинаться с нуля, первая и последняя цифры всегда равны 1. Для палиндрома длиной $n$ бит:

• Первый и последний биты фиксированы (единицы).
• Внутренняя часть определяется первыми $\lceil n/2\rceil$ битами. На самом деле, свободными для выбора являются только $\lfloor (n-1)/2\rfloor$ бит, так как вторая половина числа зеркально отображает первую.

3. Анализ по количеству бит ( $n$) Для каждого количества бит $n$ мы ищем количество комбинаций, дающих нечетное число единиц.

4. Математическое обоснование

1. Четное $n$: Если длина числа четная (например, $n=6$), то любая единица в левой половине имеет пару в правой половине. Общее количество единиц всегда будет четным ( $2,4,6\dots$). Следовательно, среди палиндромов четной длины искомых чисел нет (0). Нечетное $n$: Если длина нечетная (например, $n=7$), то центральный бит не имеет пары. Единицы во всех позициях, кроме центральной, входят в сумму парами (дают четное число). Общее количество единиц будет нечетным тогда и только тогда, когда центральный бит равен 1.
   • Количество бит, которые можно выбирать свободно в палиндроме нечетной длины $n$, равно $k=(n-1)/2$. Половина из этих комбинаций будет иметь центральный бит, равный «1». Следовательно, количество подходящих чисел равно $2^{k-1}$, где $k=(n+1)/2-1$. Упрощенно: $2^{(n-1)/2-1}\times 2=2^{(n-1)/2}$? Нет, проще: при фиксированном центральном бите (1) у нас остается $\frac{n-3}{2}$ свободных позиций, но так как нас интересует просто наличие центрального бита, количество подходящих чисел для нечетного $n$ равно точно половине от всех возможных палиндромов этой длины, то есть $2^{(n-1)/2}$.

5. Итоговый расчет Суммируем результаты для нечетных $n$ от 1 до 15:

• $n=1:2^0=1$ $n=3:2^1=2/2=1$ (это число 101) $n=5:2^2=2$ $n=7:2^3=4$ $n=9:2^4=8$ $n=11:2^5=16$ $n=13:2^6=32$ $n=15:2^7=64$

Сумма: $1+1+2+4+8+16+32+64=128$ Всего существует 128 таких чисел. Хотите, чтобы я составил программный скрипт на Python для проверки этого результата методом перебора?