Тангенс икс минус котангенс икс чему равно?

Выражение $\tan x-\cot x$ можно упростить и представить в нескольких эквивалентных формах, используя основные тригонометрические тождества. 1. Вывод через синус и косинус Для начала выразим тангенс и котангенс через функции $\sin x$ и $\cos x$: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ Подставим их в исходное выражение и приведем к общему знаменателю: $\tan x-\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}$ 2. Применение тригонометрических формул Для дальнейшего упрощения числителя и знаменателя воспользуемся формулами двойного угла:

• Косинус двойного угла: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$. Следовательно, ${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-\cos 2x$. Синус двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Следовательно, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ .

Подставим эти значения в полученную дробь: $\tan x-\cot x=\frac{-\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x}=-2\frac{\cos 2x}{\sin 2x}$ Зная, что $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\cot \alpha$ , получаем итоговый результат: $\tan x-\cot x=-2\cot 2x$Резюме Основные формы записи ответа:

• Через котангенс двойного угла: $-2\cot 2x$ Через тангенс двойного угла: $-\frac{2}{\tan 2x}$

Область допустимых значений: Данное равенство верно при $x\ne \frac{\pi n}{2}$ , где $n$ — целое число (так как при этих значениях не определены $\tan x$, $\cot x$ или $\cot 2x$). Я могу составить таблицу аналогичных тригонометрических преобразований для других комбинаций функций, если это необходимо.