Y=под корнем 5-4x-x^2

Для функции $y=\sqrt{5-4x-x^2}$ проведём полный математический анализ, включая определение области определения, нахождение экстремумов и построение графика. 1. Область определения функции (ООФ) Выражение под корнем чётной степени должно быть неотрицательным: $5-4x-x^2\ge 0$Для решения неравенства найдём корни уравнения $-x^2-4x+5=0$:

1. Умножим на $-1$: $x^2+4x-5=0$. По теореме Виета: $x_1=-5,x_2=1$. График функции $f\left(x\right)=-x^2-4x+5$ — парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, значения $\ge 0$ находятся между корнями.

Область определения: $D\left(y\right)=[-5;1]$ 2. Преобразование уравнения (Выделение полного квадрата) Преобразуем подкоренное выражение, чтобы понять геометрический смысл функции: $5-(x^2+4x)=5-(x^2+4x+4-4)=5-\left(\right(x+2{)}^2-4)=9-(x+2{)}^2$Теперь функция выглядит так: $y=\sqrt{9-(x+2{)}^2}$ Возведём обе части в квадрат (учитывая, что $y\ge 0$): $y^2=9-(x+2{)}^2⟹(x+2{)}^2+y^2=9$Это уравнение окружности с центром в точке $(-2;0)$ и радиусом $R=\sqrt{9}=3$ . Поскольку исходная функция $y$ определена как положительный корень, графиком является верхняя полуокружность. 3. Нахождение экстремумов и критических точек Найдём производную функции: $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{5-4x-x^2}}\cdot (5-4x-x^2{)}^{\prime }=\frac{-4-2x}{2\sqrt{5-4x-x^2}}=\frac{-2(x+2)}{2\sqrt{5-4x-x^2}}=\frac{-(x+2)}{\sqrt{5-4x-x^2}}$

• Критическая точка: $y^{\prime }=0⟹x+2=0⟹x=-2$. При $x<-2$ производная $y^{\prime }>0$ (функция возрастает). При $x>-2$ производная $y^{\prime }<0$ (функция убывает).

Максимум функции: В точке $x=-2$ значение $y=\sqrt{9-(-2+2{)}^2}=\sqrt{9}=3$ . 4. Характеристики графика

Я могу составить таблицу значений для построения этого графика по точкам или исследовать производную второго порядка для определения выпуклости. Желаете продолжить расчеты?