11 в 20х степени-20 в 20х-1 степени=10

Чтобы решить уравнение ${11}^{2x}-{20}^{2x-1}=10$, воспользуемся методами анализа функций, так как аналитическое решение через стандартные логарифмы затруднено из-за разных оснований степеней и наличия константы. 1. Преобразование уравнения Приведем уравнение к более удобному виду, избавившись от отрицательной степени в показателе: ${11}^{2x}-\frac{{20}^{2x}}{20}=10$ Умножим всё уравнение на 20, чтобы убрать знаменатель: $20\cdot {11}^{2x}-{20}^{2x}=200$Разделим обе части на ${20}^{2x}$ (так как ${20}^{2x}>0$): $20\cdot {\left(\frac{11}{20}\right)}^{2x}-1=\frac{200}{{20}^{2x}}$ $20\cdot {\left(\frac{11}{20}\right)}^{2x}-200\cdot {\left(\frac{1}{20}\right)}^{2x}=1$ 2. Анализ функций Рассмотрим левую часть уравнения как функцию $f\left(x\right)$: $f\left(x\right)=20\cdot {\left(\frac{11}{20}\right)}^{2x}-200\cdot {\left(\frac{1}{20}\right)}^{2x}$

• Первое слагаемое $20\cdot (11/20{)}^{2x}$ является убывающей функцией, так как основание $11/20<1$. Второе слагаемое $-200\cdot (1/20{)}^{2x}$ является возрастающей функцией (поскольку сама функция $(1/20{)}^{2x}$ убывает, но перед ней стоит знак минус).

Сумма убывающей и возрастающей функций может вести себя сложно, поэтому воспользуемся методом подбора и локализации корней. 3. Поиск корня методом подбора Проверим целые и дробные значения $x$:

• При $x=0$:
  ${11}^0-{20}^{-1}=1-0.05=0.95\ne 10$ При $x=0.5$:
  ${11}^1-{20}^0=11-1=10$

Проверка: ${11}^{2\left(0.5\right)}-{20}^{2\left(0.5\right)-1}={11}^1-{20}^0=11-1=10$Уравнение обращается в верное равенство. 4. Доказательство единственности Рассмотрим исходное уравнение в виде: ${11}^{2x}={20}^{2x-1}+10$Разделим на ${11}^{2x}$: $1=\frac{{20}^{2x-1}}{{11}^{2x}}+\frac{10}{{11}^{2x}}$ $1=\frac{1}{20}\cdot {\left(\frac{20}{11}\right)}^{2x}+10\cdot {\left(\frac{1}{11}\right)}^{2x}$

• Функция $g\left(x\right)=\frac{1}{20}\cdot (\frac{20}{11}{)}^{2x}$ является строго возрастающей, так как $\frac{20}{11}>1$ . Функция $h\left(x\right)=10\cdot (\frac{1}{11}{)}^{2x}$ является строго убывающей.

Однако, если мы вернемся к исходному виду $20\cdot {11}^{2x}-{20}^{2x}=200$ и продифференцируем функцию $F\left(x\right)=20\cdot {11}^{2x}-{20}^{2x}$, мы увидим, что она имеет только один экстремум (максимум), после которого стремительно убывает в сторону отрицательных значений. Поскольку при $x=0.5$ значение равно 200, а при росте $x$ вычитаемое ${20}^{2x}$ растет значительно быстрее, чем $20\cdot {11}^{2x}$, других корней в области положительных чисел нет. В области отрицательных чисел функция стремится к 0. Ответ: $x=0.5$ (или $1/2$). Хотите, чтобы я проверил это уравнение на наличие других корней в комплексной плоскости?