4 корень из 16 i

Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{16i}$ , необходимо воспользоваться формулой Муавра для извлечения корней из комплексных чисел. 1. Представление числа в тригонометрической форме Комплексное число $z=16i$ можно записать в виде $z=a+bi$, где $a=0$ и $b=16$.

• Модуль числа ( $r$):
  $r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+{16}^2}=16$ Аргумент числа ( $\phi$):
  Так как число чисто мнимое и находится на положительной полуоси $Oy$, то $\phi =\frac{\pi }{2}$ .

Следовательно, $16i=16(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})$ . 2. Формула извлечения корня Для нахождения корней $n$-й степени используется формула: $w_k=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\phi +2\pi k}{n})$ где $n=4$, а $k$ принимает значения $0,1,2,3$. Значение $\sqrt[4]{16}=2$ . 3. Вычисление всех четырех корней При $k=0$: $w_0=2(\cos \frac{\pi /2}{4}+i\sin \frac{\pi /2}{4})=2(\cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8})$ При $k=1$: $w_1=2(\cos \frac{\pi /2+2\pi }{4}+i\sin \frac{\pi /2+2\pi }{4})=2(\cos \frac{5\pi }{8}+i\sin \frac{5\pi }{8})$ При $k=2$: $w_2=2(\cos \frac{\pi /2+4\pi }{4}+i\sin \frac{\pi /2+4\pi }{4})=2(\cos \frac{9\pi }{8}+i\sin \frac{9\pi }{8})$ При $k=3$: $w_3=2(\cos \frac{\pi /2+6\pi }{4}+i\sin \frac{\pi /2+6\pi }{4})=2(\cos \frac{13\pi }{8}+i\sin \frac{13\pi }{8})$ Итоговый ответ в алгебраической форме Используя значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi }{8}$ ( $\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ ), корни можно записать так:

• $w_0=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}$ $w_1=-\sqrt{2-\sqrt{2}}+i\sqrt{2+\sqrt{2}}$ $w_2=-\sqrt{2+\sqrt{2}}-i\sqrt{2-\sqrt{2}}$ $w_3=\sqrt{2-\sqrt{2}}-i\sqrt{2+\sqrt{2}}$

Я могу помочь вам с решением других задач по комплексным числам или построить эти точки на комплексной плоскости.