Найти длину дуги полукубической параболы y = x√x , концами которой являются точки с абсциссами x1 = 0 и x2 = 5

Длина дуги полукубической параболы на отрезке от $x_1=0$ до $x_2=5$ составляет 335/27. Шаг 1: Нахождение производной функции Для вычисления длины дуги сначала необходимо найти производную функции $y=x\sqrt{x}$ . Преобразуем выражение к степенному виду: $y=x^{3/2}$. Производная функции по $x$ равна: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}\left(x^{3/2}\right)=\frac{3}{2}{x}^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ Шаг 2: Составление интеграла для длины дуги Длина дуги $L$ гладкой кривой на отрезке $[a,b]$ вычисляется по формуле: $L={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$ Подставим полученную производную в выражение под корнем: $(y^{\prime }{)}^2=(\frac{3}{2}\sqrt{x}{)}^2=\frac{9}{4}x$ Таким образом, интеграл принимает вид: $L={\int }_0^5\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx$ Шаг 3: Вычисление определенного интеграла Для решения воспользуемся заменой переменной. Пусть $u=1+\frac{9}{4}x$ , тогда $du=\frac{9}{4}dx$ , откуда $dx=\frac{4}{9}du$ . Изменим пределы интегрирования: При $x=0$: $u=1+0=1$ При $x=5$: $u=1+\frac{9}{4}\cdot 5=1+\frac{45}{4}=\frac{49}{4}$ Вычисляем интеграл: $L=\frac{4}{9}{\int }_1^{49/4}{u}^{1/2}du=\frac{4}{9}{\left[\frac{2}{3}{u}^{3/2}\right]}_1^{49/4}=\frac{8}{27}\left(\right(\frac{49}{4}{)}^{3/2}-1^{3/2})$ Выполним арифметические действия: $(\frac{49}{4}{)}^{3/2}=(\sqrt{\frac{49}{4}}{)}^3=(\frac{7}{2}{)}^3=\frac{343}{8}$ $L=\frac{8}{27}(\frac{343}{8}-1)=\frac{8}{27}\cdot \frac{335}{8}=\frac{335}{27}$ Ответ: Длина дуги равна 335/27 (или приблизительно 12.41). Укажите, требуется ли вам геометрическая интерпретация данной задачи или помощь с вычислением длины дуги для других функций.