В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. по списку наудачу отобраны 9 студентов. найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников

Для вычисления вероятности того, что среди 9 отобранных студентов окажется ровно 5 отличников, используется классическое определение вероятности и формула сочетаний. Вероятность события равна: $\mathbf{P}\mathbf{\left(}\mathbf{A}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{14}{55}\mathbf{\approx }0.2545$ 1. Определение общего числа исходов Общее количество способов выбрать 9 студентов из группы в 12 человек определяется числом сочетаний из $n=12$ по $k=9$. Используем формулу $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ : $C_{12}^9=C_{12}^3=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}=220$ 2. Определение числа благоприятных исходов Чтобы среди отобранных 9 студентов было ровно 5 отличников, должны одновременно выполняться два условия:

1. Выбраны 5 отличников из 8 имеющихся: $C_8^5$ способов. Выбраны остальные $9-5=4$ студента из оставшихся $12-8=4$ студентов (не отличников): $C_4^4$ способов.

Вычислим каждое значение:

• $C_8^5=C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56$ $C_4^4=1$

Следовательно, количество благоприятных исходов $m$ равно: $m=C_8^5\cdot C_4^4=56\cdot 1=56$3. Расчет итоговой вероятности Вероятность $P\left(A\right)$ находится как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P\left(A\right)=\frac{m}{n}=\frac{56}{220}$ Сократим дробь на 4: $P\left(A\right)=\frac{14}{55}\approx 0.254545\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$ Ответ Вероятность того, что среди 9 выбранных студентов будет ровно 5 отличников, составляет $\frac{14}{55}$ (или примерно $0.2545$). Хотите рассчитать вероятность для другого количества отличников в выборке или рассмотреть случай с возвращением?