Диагональ основой сечение цилиндра наклонена к плоскости под углом альфа. найти объем цилиндра, если периметр осевого сечения равна гамма

Объем цилиндра выражается формулой $V=\frac{{\gamma }^3{\cos }^2\alpha \sin \alpha }{16(1+\cos \alpha {)}^3}$ . 1. Связь сторон сечения Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются диаметр основания $d=2R$ и высота цилиндра $H$. Пусть $d$ — основание прямоугольника, а $H$ — его высота. Согласно условию, диагональ сечения $L$ образует с плоскостью основания (с диаметром) угол $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, диаметром и высотой, получаем: $H=d\cdot \tan \alpha$2. Использование периметра Периметр осевого сечения равен $\gamma$. Формула периметра прямоугольника: $P=2(d+H)=\gamma$Подставим выражение для $H$ через $d$: $2(d+d\tan \alpha )=\gamma$ $2d(1+\tan \alpha )=\gamma$Выразим диаметр $d$: $d=\frac{\gamma }{2(1+\tan \alpha )}$ Так как $d=2R$, радиус основания равен: $R=\frac{\gamma }{4(1+\tan \alpha )}$ 3. Нахождение высоты Используя найденное значение $d$, определим высоту $H$: $H=d\tan \alpha =\frac{\gamma \tan \alpha }{2(1+\tan \alpha )}$ 4. Вычисление объема Объем цилиндра вычисляется по формуле $V=\pi R^{2}H$. Подставим полученные значения: $V=\pi {\left(\frac{\gamma }{4(1+\tan \alpha )}\right)}^2\cdot \frac{\gamma \tan \alpha }{2(1+\tan \alpha )}$ $V=\pi \cdot \frac{{\gamma }^2}{16(1+\tan \alpha {)}^2}\cdot \frac{\gamma \tan \alpha }{2(1+\tan \alpha )}=\frac{\pi {\gamma }^3\tan \alpha }{32(1+\tan \alpha {)}^3}$ Для упрощения тригонометрического выражения можно использовать замену $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ : $1+\tan \alpha =1+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha }$ Тогда: $V=\frac{\pi {\gamma }^3\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{32{\left(\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^3}=\frac{\pi {\gamma }^3\sin \alpha {\cos }^2\alpha }{32(\cos \alpha +\sin \alpha {)}^3}$ Ответ Объем цилиндра равен $V=\frac{\pi {\gamma }^3\tan \alpha }{32(1+\tan \alpha {)}^3}$ , что также можно записать в виде $V=\frac{\pi {\gamma }^3\sin \alpha {\cos }^2\alpha }{32(\cos \alpha +\sin \alpha {)}^3}$ . Требуется ли вам произвести численный расчет объема при конкретных значениях угла $\alpha$ и периметра $\gamma$?