В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 сторона основания ab=4, а боковое ребро aa1=11. найдите расстояние между прямыми ab1 до прямой cd1

Расстояние между прямыми $A{B}_1$ и $C{D}_1$ равно 4. ️ Шаг 1: Введение системы координат Поместим призму в декартову систему координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда оси $x,y,z$ будут направлены вдоль ребер $DA,DC$ и $D{D}_1$ соответственно. Координаты вершин:

• $A(4,0,0)$ $B(4,4,0)$ $C(0,4,0)$ $D(0,0,0)$ $B_1(4,4,11)$ $D_1(0,0,11)$

️ Шаг 2: Определение векторов и нормали Найдем направляющие векторы прямых $A{B}_1$ и $C{D}_1$:

• Вектор ${\vec{v}}_1=\overrightarrow{A{B}_1}=(4-4,4-0,11-0)=(0,4,11)$ Вектор ${\vec{v}}_2=\overrightarrow{C{D}_1}=(0-0,0-4,11-0)=(0,-4,11)$

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат. Найдем вектор $\vec{n}$, перпендикулярный обоим векторам, через векторное произведение: $\vec{n}={\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 0& 4& 11\\ 0& -4& 11\end{array}\right|=\mathbf{i}(44-(-44\left)\right)-\mathbf{j}\left(0\right)+\mathbf{k}\left(0\right)=(88,0,0)$Нормализованный вектор нормали $\overrightarrow{n_0}=(1,0,0)$. ️ Шаг 3: Вычисление расстояния Расстояние $d$ находится как проекция вектора $\overrightarrow{AC}$, соединяющего любые две точки на прямых, на вектор нормали. $\overrightarrow{AC}=(0-4,4-0,0-0)=(-4,4,0)$. $d=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}|}{\left|\vec{n}\right|}=\frac{|-4\cdot 88+4\cdot 0+0\cdot 0|}{88}=\frac{352}{88}=4$ Геометрически это объясняется тем, что прямая $A{B}_1$ лежит в плоскости грани $AB{B}_1{A}_1$ ( $x=4$), а прямая $C{D}_1$ — в плоскости грани $CD{D}_1{C}_1$ ( $x=0$). Так как грани параллельны, расстояние между прямыми равно расстоянию между этими плоскостями, то есть длине ребра основания 4. Ответ: Расстояние между прямыми равно 4. Сообщите, нужно ли разобрать способ нахождения расстояния через общий перпендикуляр или построение сечения?