Докажите,что f(x)=x³-2sinx является первообразной для f(x)= 3x²-2cosx

Для того чтобы доказать, что функция $F\left(x\right)$ является первообразной для функции $f\left(x\right)$, необходимо показать, что производная функции $F\left(x\right)$ совпадает с функцией $f\left(x\right)$ на всей области определения. В данном случае имеем функции:

• $F\left(x\right)=x^3-2\sin x$ $f\left(x\right)=3x^2-2\cos x$

Шаг 1: Нахождение производной $F^{\prime }\left(x\right)$ Воспользуемся правилами дифференцирования:

1. Производная разности равна разности производных: $(u-v{)}^{\prime }=u^{\prime }-v^{\prime }$. Производная степенной функции: $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$. Производная тригонометрической функции: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$. Постоянный множитель выносится за знак производной: $(k\cdot u{)}^{\prime }=k\cdot u^{\prime }$.

Применим эти правила к функции $F\left(x\right)$: $F^{\prime }\left(x\right)=(x^3-2\sin x{)}^{\prime }$ $F^{\prime }\left(x\right)=(x^3{)}^{\prime }-(2\sin x{)}^{\prime }$ $F^{\prime }\left(x\right)=3x^2-2(\sin x{)}^{\prime }$ $F^{\prime }\left(x\right)=3x^2-2\cos x$Шаг 2: Сравнение полученного результата с $f\left(x\right)$ Сравним полученное выражение для $F^{\prime }\left(x\right)$ с исходной функцией $f\left(x\right)$:

• $F^{\prime }\left(x\right)=3x^2-2\cos x$ $f\left(x\right)=3x^2-2\cos x$

Видно, что $F^{\prime }\left(x\right)\equiv f\left(x\right)$ для всех действительных значений $x$. Заключение Согласно определению, функция $F\left(x\right)$ называется первообразной для функции $f\left(x\right)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$. Так как в ходе вычислений было получено тождество $3x^2-2\cos x=3x^2-2\cos x$, утверждение считается доказанным. Что и требовалось доказать. Могу ли я помочь вам с вычислением определенного интеграла для этих функций на конкретном отрезке?