F(x) = -x^3+4x^2-4x решение

Для функции $F\left(x\right)=-x^3+4x^2-4x$ наиболее полным решением является нахождение корней (точек пересечения с осью $Ox$) и разложение многочлена на множители. 1. Нахождение корней уравнения Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, приравняем функцию к нулю: $-x^3+4x^2-4x=0$Шаг 1. Вынесение общего множителя за скобки Вынесем $-x$ за скобки: $-x(x^2-4x+4)=0$Шаг 2. Решение полученного уравнения Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $-x=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $x^2-4x+4=0$

Шаг 3. Упрощение квадратного трехчлена Заметим, что выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$Следовательно: $(x-2{)}^2=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}$(Корень $x=2$ имеет кратность 2, что означает, что в этой точке график функции касается оси $Ox$, но не пересекает ее). 2. Разложение на множители Итоговый вид функции в множителях: $F\left(x\right)=-x(x-2{)}^2$3. Исследование свойств функции

• Область определения: $D\left(f\right)=\mathbb{R}$ (все действительные числа). Пересечение с осью $Oy$: При $x=0$, $F\left(0\right)=0$. Точка $(0;0)$. Поведение на бесконечности:
  • При $x+\infty ,F\left(x\right)-\infty$ При $x-\infty ,F\left(x\right)+\infty$
  Производная (для поиска экстремумов):
  $F^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+8x-4$Приравняв к нулю ( $-3x^2+8x-4=0$), можно найти критические точки:
  $D=8^2-4\left(-3\right)\left(-4\right)=64-48=16$ $x=\frac{-8\pm 4}{-6}⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{m}\mathbf{a}\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{2},{\mathbf{x}}_{\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$

Итоговая таблица ключевых точек

Хотите, чтобы я построил график этой функции или нашел площадь фигуры, ограниченной этой кривой и осью Ox?