Исследовать график функции и построить график y=2cos 0,5x вот схема чтобы было легче) 1-область определения 2-четность\нечетность и периодичность 3-нули функции 4-промежутки знакопостоянства (y>0 y<0) 5-промежутки возрастания и убывания 6-точки экстремума, вид экстремума, значение функции в этих точках 7-область значений(e(f))

Исследование функции $y=2\cos 0,5x$ показывает, что она определена на всей числовой прямой, является четной с периодом $4\pi$, имеет нули в точках $x=\pi +2\pi k$ и область значений от -2 до 2. ️ Шаг 1: Область определения Функция содержит косинус, который определен для любого действительного значения аргумента. Следовательно, область определения: $D\left(f\right)=(-\infty ;+\infty )$️ Шаг 2: Четность и периодичность Проверим условие $f(-x)=f\left(x\right)$: $f(-x)=2\cos (0,5\cdot (-x\left)\right)=2\cos (-0,5x)=2\cos 0,5x=f\left(x\right)$. Функция четная (график симметричен относительно оси $Oy$). Период основной функции $\cos x$ равен $2\pi$. Для $y=A\cos kx$ период $T=\frac{2\pi }{k}$ . $T=\frac{2\pi }{0,5}=4\pi$ ️ Шаг 3: Нули функции Найдем точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $2\cos 0,5x=0$: $\cos 0,5x=00,5x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Нули функции: $x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$️ Шаг 4: Промежутки знакопостоянства Функция положительна ( $y>0$), когда $\cos 0,5x>0$: $-\frac{\pi }{2}+2\pi k<0,5x<\frac{\pi }{2}+2\pi k-\pi +4\pi k<x<\pi +4\pi k$ Функция отрицательна ( $y<0$), когда $\cos 0,5x<0$: $\frac{\pi }{2}+2\pi k<0,5x<\frac{3\pi }{2}+2\pi k\pi +4\pi k<x<3\pi +4\pi k$ ️ Шаг 5: Промежутки возрастания и убывания Используем производную $y^{\prime }=-2\cdot 0,5\sin 0,5x=-\sin 0,5x$:

1. Возрастание ( $y^{\prime }>0$): $-\sin 0,5x>0\sin 0,5x<0$.
   $-\pi +2\pi k<0,5x<2\pi kx\in [-2\pi +4\pi k;4\pi k]$ Убывание ( $y^{\prime }<0$): $\sin 0,5x>0$.
   $2\pi k<0,5x<\pi +2\pi kx\in [4\pi k;2\pi +4\pi k]$

️ Шаг 6: Точки экстремума Точки максимума: $\cos 0,5x=10,5x=2\pi k{x}_{max}=4\pi k$. Значение $y_{max}=2$. Точки минимума: $\cos 0,5x=-10,5x=\pi +2\pi k{x}_{min}=2\pi +4\pi k$. Значение $y_{min}=-2$. ️ Шаг 7: Область значений Так как область значений $\cos \alpha$ — это $[-1;1]$, то для функции $2\cos 0,5x$: $E\left(f\right)=[-2;2]$ Ответ: Функция $y=2\cos 0,5x$ является периодической ( $T=4\pi$) и четной. График представляет собой растянутую в 2 раза вдоль обеих осей косинусоиду с амплитудой 2, проходящую через точки $(0;2)$, $(\pi ;0)$, $(2\pi ;-2)$. Нужно ли вам пошаговое описание того, как отметить ключевые точки на координатной плоскости для построения графика вручную?