Кубический корень из суммы 9 и корня из 80 плюс кубический корень из разности 9 и корня из 80 упростить выражение

Для упрощения выражения $x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ воспользуемся методом возведения в куб и введением вспомогательной переменной. 1. Подготовка выражения Обозначим искомое значение как $x$: $x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ Для упрощения расчетов заметим, что $\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$ . Тогда: $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ 2. Возведение в куб Используем формулу куба суммы $(a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Пусть:

• $a=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}$ $b=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$

Тогда $x=a+b$, и уравнение принимает вид: $x^3=(9+\sqrt{80})+(9-\sqrt{80})+3\cdot \sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}\cdot (a+b)$ 3. Вычисление компонентов

1. Сумма подкоренных выражений:
   $(9+\sqrt{80})+(9-\sqrt{80})=18$ Произведение подкоренных выражений (разность квадратов):
   $(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})=9^2-(\sqrt{80}{)}^2=81-80=1$
   Следовательно, кубический корень из произведения равен $\sqrt[3]{1}=1$ . Подстановка переменной $x$:
   Заметим, что множитель $(a+b)$ — это и есть наше исходное число $x$.

4. Составление и решение уравнения Подставим полученные значения в формулу: $x^3=18+3\cdot 1\cdot x$ $x^3-3x-18=0$Нам нужно найти вещественный корень этого уравнения. Проверим целые делители числа 18 (±1, ±2, ±3...). При $x=3$: $3^3-3\left(3\right)-18=27-9-18=0$Корень $x=3$ является верным. Чтобы убедиться, что других вещественных корней нет, разложим многочлен на множители: $(x-3)(x^2+3x+6)=0$Дискриминант квадратного уравнения $x^2+3x+6=0$ равен $D=3^2-4\cdot 6=9-24=-15$. Поскольку $D<0$, уравнение не имеет других действительных корней. Ответ: 3 Хотите, чтобы я разобрал подобный пример с извлечением кубического корня через выделение полного куба под знаком корня?