Найти область определения и множество значений функций : а)у=sin (2x + п/4) - 3 б)2tg (x+п)

Ниже представлено подробное решение для нахождения области определения и множества значений указанных функций. а) $y=\sin (2x+\frac{\pi }{4})-3$ 1. Область определения ( $D\left(y\right)$) Функция представляет собой синусоиду. Аргумент синуса $(2x+\frac{\pi }{4})$ может принимать любые действительные значения. Ограничений на переменную $x$ нет (нет деления на ноль или извлечения корня из отрицательного числа).

• Ответ: $D\left(y\right)=(-\infty ;+\infty )$ или $x\in \mathbb{R}$.

2. Множество значений ( $E\left(y\right)$) Для нахождения множества значений воспользуемся известными свойствами функции $\sin \left(\alpha \right)$:

1. Базовая функция синуса ограничена пределами:
   $-1\le \sin (2x+\frac{\pi }{4})\le 1$ В выражении присутствует вычитание тройки. Вычтем 3 из всех частей неравенства:
   $-1-3\le \sin (2x+\frac{\pi }{4})-3\le 1-3$ $-4\le y\le -2$

• Ответ: $E\left(y\right)=[-4;-2]$.

б) $y=2\text{tg}(x+\pi )$ 1. Область определения ( $D\left(y\right)$) Функция тангенса $\text{tg}\left(\alpha \right)$ не определена в точках, где косинус равен нулю, то есть когда $\alpha =\frac{\pi }{2}+\pi k$ , где $k\in \mathbb{Z}$. В данном случае аргумент $\alpha =x+\pi$. Составим уравнение: $x+\pi \ne \frac{\pi }{2}+\pi k$ Перенесем $\pi$ в правую часть: $x\ne \frac{\pi }{2}-\pi +\pi k$ $x\ne -\frac{\pi }{2}+\pi k$ Учитывая периодичность, это эквивалентно стандартному условию $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n$ .

• Ответ: $D\left(y\right)=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\}$ .

2. Множество значений ( $E\left(y\right)$) Функция $\text{tg}\left(\alpha \right)$ принимает любые действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.

1. Множество значений базового тангенса: $(-\infty ;+\infty )$. Умножение на коэффициент $2$ растягивает график вдоль оси $Oy$, но не ограничивает диапазон значений. Любое число, умноженное на 2, по-прежнему может дать любое число из интервала $(-\infty ;+\infty )$.

• Ответ: $E\left(y\right)=(-\infty ;+\infty )$ или $y\in \mathbb{R}$.

Резюме:

Я могу также построить графики этих функций или исследовать их на периодичность, если это необходимо.