Найти точки экстремума y=x^2e^x

Для нахождения точек экстремума функции $y=x^2{e}^x$ необходимо выполнить последовательное исследование функции с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Функция представляет собой произведение двух выражений: $u=x^2$ и $v=e^x$. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }\cdot e^x+x^2\cdot (e^x{)}^{\prime }$Так как $(x^2{)}^{\prime }=2x$ и $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, получаем: $y^{\prime }=2x{e}^x+x^2{e}^x$Для удобства дальнейших вычислений вынесем общий множитель $x{e}^x$ за скобки: $y^{\prime }=x{e}^x(2+x)$2. Определение критических точек Точки экстремума могут находиться только там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае производная определена на всей числовой прямой. Приравняем её к нулю: $x{e}^x(2+x)=0$Так как $e^x$ всегда больше нуля ( $e^x\ne 0$), уравнение распадается на два множителя:

1. $x=0$ $2+x=0⟹x=-2$

Критические точки: $x_1=-2$ и $x_2=0$. 3. Определение знаков производной и характера экстремумов Разделим область определения на интервалы и определим знак $y^{\prime }$ на каждом из них:

• Интервал $(-\infty ;-2)$: Возьмем $x=-3$.
  $y^{\prime }\left(-3\right)=\left(-3\right)\cdot e^{-3}\cdot (2-3)=\left(-3\right)\cdot (+)\cdot \left(-1\right)>0$. Производная положительна, функция возрастает. Интервал $(-2;0)$: Возьмем $x=-1$.
  $y^{\prime }\left(-1\right)=\left(-1\right)\cdot e^{-1}\cdot (2-1)=\left(-1\right)\cdot (+)\cdot \left(1\right)<0$. Производная отрицательна, функция убывает. Интервал $(0;+\infty )$: Возьмем $x=1$.
  $y^{\prime }\left(1\right)=1\cdot e^1\cdot (2+1)>0$. Производная положительна, функция возрастает.

4. Вычисление значений функции в точках экстремума

Ответ: Точка максимума: $x=-2$ (значение $y=\frac{4}{e^2}$ ). Точка минимума: $x=0$ (значение $y=0$). Хотите, чтобы я нашел точки перегиба для этой функции?