Найти первообразную: f(x) = 3 cos x - 4sin x

Для нахождения первообразной функции $f\left(x\right)=3\cos x-4\sin x$ воспользуемся правилами интегрирования и таблицей основных неопределенных интегралов. Теоретические основы

1. Линейность первообразной: Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных. Если $F\left(x\right)$ — первообразная для $f\left(x\right)$, а $G\left(x\right)$ — для $g\left(x\right)$, то первообразная для $af\left(x\right)+bg\left(x\right)$ будет $aF\left(x\right)+bG\left(x\right)$. Табличные интегралы:
   • $\int \cos xdx=\sin x+C$ $\int \sin xdx=-\cos x+C$

Пошаговое решение Найдем общий вид первообразной $F\left(x\right)$, вычислив неопределенный интеграл: $F\left(x\right)=\int (3\cos x-4\sin x)dx$1. Применяем свойство линейности: Разложим интеграл на две части и вынесем константы за знак интеграла: $F\left(x\right)=3\int \cos xdx-4\int \sin xdx$2. Интегрируем каждую часть:

• Первое слагаемое: $3\cdot \sin x$ Второе слагаемое: $-4\cdot (-\cos x)=4\cos x$

3. Записываем итоговый результат: Не забываем добавить произвольную постоянную $C$, которая характеризует всё семейство первообразных: $F\left(x\right)=3\sin x+4\cos x+C$Ответ: $F\left(x\right)=3\sin x+4\cos x+C$ Проверка: Чтобы убедиться в правильности, найдем производную от полученного результата: $F^{\prime }\left(x\right)=(3\sin x+4\cos x+C{)}^{\prime }=3\cos x+4(-\sin x)+0=3\cos x-4\sin x$Производная совпадает с исходной функцией $f\left(x\right)$, следовательно, решение верно. Хотите, чтобы я нашел первообразную для более сложной функции или вычислил определенный интеграл на заданном отрезке?