О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Для решения данной задачи мы воспользуемся свойствами непрерывных функций и методом последовательных приближений. Нам дано, что для любого $a>1$ функция $g_a\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(ax\right)$ непрерывна на $\mathbb{R}$. 1. Переход к разности функций Рассмотрим два различных значения параметра: $a>1$ и $a^2>1$. По условию, следующие функции непрерывны:

1. $g_a\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(ax\right)$ $g_{a^2}\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(a^{2}x\right)$ $g_a\left(ax\right)=f\left(ax\right)+f\left(a^{2}x\right)$ (композиция непрерывных функций $g_a$ и $h\left(x\right)=ax$ также непрерывна).

Заметим, что: $g_a\left(x\right)+g_a\left(ax\right)-g_{a^2}\left(x\right)=\left(f\right(x)+f(ax\left)\right)+\left(f\right(ax)+f(a^{2}x\left)\right)-\left(f\right(x)+f(a^{2}x\left)\right)=2f\left(ax\right)$Так как линейная комбинация непрерывных функций непрерывна, функция $2f\left(ax\right)$ непрерывна для любого $x$. Сделав замену переменной $t=ax$, мы получаем, что $f\left(t\right)$ непрерывна везде, кроме, возможно, точки $x=0$. 2. Исследование непрерывности в точке $x=0$ Для доказательства непрерывности в нуле нам нужно показать, что $\underset{x0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$. Из условия непрерывности $g_a\left(x\right)$ в точке $0$ следует: $\underset{x0}{\lim }\left(f\right(x)+f(ax\left)\right)=f\left(0\right)+f(a\cdot 0)=2f\left(0\right)$Рассмотрим произвольную последовательность $x_{n}0$. Пусть $\underset{n\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=L$. Тогда из уравнения выше следует: $L+\underset{n\infty }{\lim }f\left(a{x}_n\right)=2f\left(0\right)⟹\underset{n\infty }{\lim }f\left(a{x}_n\right)=2f\left(0\right)-L$Применяя этот аргумент итеративно для функции $g_a\left(a^{k}x\right)$, можно получить общее выражение. Однако проще воспользоваться тем, что равенство $f\left(x\right)+f\left(ax\right)=g_a\left(x\right)$ выполняется для любого $a>1$. 3. Формальное доказательство через разность Зафиксируем $x$ и выберем два значения $a$ и $b$ такие, что $1<a<b$. По доказанному в пункте 1, функция $f\left(x\right)$ непрерывна во всех точках $x\ne 0$. Следовательно, для любой точки $x_0\ne 0$ предел существует и равен значению функции. Чтобы доказать непрерывность в $0$, возьмем $g_a\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(ax\right)$ и $g_b\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(bx\right)$. Тогда $f\left(ax\right)-f\left(bx\right)=g_a\left(x\right)-g_b\left(x\right)$. Левая часть при $x0$ стремится к разности пределов. Так как $g_a$ и $g_b$ непрерывны в нуле и $g_a\left(0\right)=g_b\left(0\right)=2f\left(0\right)$, то: $\underset{x0}{\lim }\left(f\right(ax)-f(bx\left)\right)=2f\left(0\right)-2f\left(0\right)=0$Поскольку это верно для любых $a,b>1$, это означает, что значения функции «сжимаются» к одной точке при приближении к нулю независимо от коэффициента растяжения аргумента. Вывод

1. При $x\ne 0$ непрерывность следует из комбинации $g_a\left(x\right)+g_a\left(ax\right)-g_{a^2}\left(x\right)$. В точке $x=0$ непрерывность следует из того, что $2f\left(ax\right)$ — непрерывная функция, предел которой при $x0$ совпадает с $2f\left(0\right)$ в силу непрерывности $g_a\left(x\right)$.

Следовательно, $f\left(x\right)$ непрерывна на всей прямой. Хотите, чтобы я разобрал аналогичную задачу, где вместо суммы функций $f\left(x\right)+f\left(ax\right)$ задана их разность или произведение?