Решите неравенство: 2^(x/(x+1))-2^((5x+3)/(x+1))+8≤2^((2x)/(x+1))

Решением неравенства является множество $x\in \mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{\infty }\mathbf{,}-1\mathbf{)}\mathbf{\cup }\mathbf{[}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{+}\mathbf{\infty }\mathbf{)}$. Шаг 1: Преобразование показателей степеней Выразим все показатели через одну дробь. Заметим, что: $\frac{5x+3}{x+1}=\frac{3x+3+2x}{x+1}=\frac{3(x+1)+2x}{x+1}=3+\frac{2x}{x+1}$ Тогда исходное неравенство принимает вид: $2^{\frac{x}{x+1}}-2^{3+\frac{2x}{x+1}}+8\le 2^{\frac{2x}{x+1}}$ Используя свойства степеней $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$ и $a^{2n}=(a^n{)}^2$, перепишем уравнение: $2^{\frac{x}{x+1}}-8\cdot (2^{\frac{x}{x+1}}{)}^2+8\le (2^{\frac{x}{x+1}}{)}^2$ Шаг 2: Введение новой переменной Пусть $t=2^{\frac{x}{x+1}}$ , где $t>0$. Подставим $t$ в неравенство: $t-8t^2+8\le t^2$Перенесем все члены в одну сторону: $-9t^2+t+8\le 0$Умножим на $-1$, меняя знак неравенства: $9t^2-t-8\ge 0$Шаг 3: Решение квадратного неравенства Найдем корни уравнения $9t^2-t-8=0$ через дискриминант: $D=(-1{)}^2-4\cdot 9\cdot (-8)=1+288=289={17}^2$ $t_1=\frac{1+17}{18}=1$ $t_2=\frac{1-17}{18}=-\frac{8}{9}$ Так как ветви параболы направлены вверх, решением $9t^2-t-8\ge 0$ является $t\in (-\infty ,-8/9]\cup [1,+\infty )$. Учитывая условие $t>0$, получаем единственный промежуток: $t\ge 1$. Шаг 4: Обратная подстановка Вернемся к переменной $x$: $2^{\frac{x}{x+1}}\ge 1$ $2^{\frac{x}{x+1}}\ge 2^0$ Так как основание $2>1$, знак неравенства для показателей сохраняется: $\frac{x}{x+1}\ge 0$ Решим методом интервалов. Нуль числителя: $x=0$. Нуль знаменателя: $x=-1$. На интервалах $(-\infty ,-1)$, $(-1,0]$ и $[0,+\infty )$ выражение $\frac{x}{x+1}$ принимает знаки:

1. На $(-\infty ,-1)$: $\frac{-}{-}=+$ (подходит) На $(-1,0]$: $\frac{-}{+}=-$ (не подходит) На $[0,+\infty )$: $\frac{+}{+}=+$ (подходит)

Ответ: x \in (-\infty, -1) \cup [0, +\infty) Нужно ли вам графическое представление решения этого неравенства на числовой прямой?