Решите уравнение: 5sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x=4

Для решения уравнения $5{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=4$ воспользуемся методом приведения к однородному уравнению второй степени. 1. Преобразование уравнения Используем основное тригонометрическое тождество $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$, чтобы представить число $4$ в правой части через синус и косинус: $4=4({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=4{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x$Подставим это выражение в исходное уравнение: $5{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=4{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x$2. Приведение к однородному виду Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: $5{\sin }^{2}x-4{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-4{\cos }^{2}x=0$ ${\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=0$3. Решение однородного уравнения Проверим, может ли $\cos x$ быть равен нулю. Если $\cos x=0$, то из уравнения следует, что $\sin x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$: $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{2\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{3{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ ${\text{tg}}^{2}x-2\text{tg}x-3=0$4. Замена переменной Пусть $\text{tg}x=t$. Получаем квадратное уравнение: $t^2-2t-3=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• $t_1+t_2=2$ $t_1\cdot t_2=-3$

Отсюда:

1. $t_1=3$ $t_2=-1$

5. Обратная замена Вернемся к переменной $x$: Случай 1: $\text{tg}x=3$ $x=\text{arctg}\left(3\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$Случай 2: $\text{tg}x=-1$ $x=\text{arctg}\left(-1\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\text{arctg}\left(3\right)+\pi n$; $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ , где $n,k\in \mathbb{Z}$. Хотите, чтобы я помог отобрать корни этого уравнения на определенном промежутке?