Противоположные стороны вписанного четырехугольника равны a и b. угол между диагоналями, обращённый к заданным сторонам, равен a(альфа). найдите радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности равен $R=\frac{\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \left(\alpha \right)}}{2\sin \left(\alpha \right)}$ . ️ Шаг 1: Связь сторон и дуг окружности Пусть вписанный четырехугольник имеет вершины $A,B,C,D$. Обозначим стороны $AB=a$ и $CD=b$. Дуги, на которые опираются эти стороны, обозначим как $2x$ и $2y$ соответственно. Согласно свойствам хорды и радиуса описанной окружности $R$, длины сторон выражаются следующим образом: $a=2R\sin \left(x\right)$ $b=2R\sin \left(y\right)$️ Шаг 2: Угол между диагоналями Угол $\alpha$ между пересекающимися диагоналями внутри окружности равен полусумме дуг, которые они высекают. В данном случае угол $\alpha$ обращен к сторонам $a$ и $b$, следовательно: $\alpha =\frac{2x+2y}{2}=x+y$ Отсюда выразим $y=\alpha -x$. ️ Шаг 3: Вывод формулы для радиуса Используем выражение для стороны $b$ и формулу синуса разности: $b=2R\sin (\alpha -x)=2R\left(\sin \right(\alpha \left)\cos \right(x)-\cos (\alpha \left)\sin \right(x\left)\right)$Подставим $\sin \left(x\right)=\frac{a}{2R}$ : $b=2R\sin \left(\alpha \right)\cos \left(x\right)-a\cos \left(\alpha \right)$Выразим $\cos \left(x\right)$: $\cos \left(x\right)=\frac{b+a\cos \left(\alpha \right)}{2R\sin \left(\alpha \right)}$ Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1$: ${\left(\frac{a}{2R}\right)}^2+{\left(\frac{b+a\cos \left(\alpha \right)}{2R\sin \left(\alpha \right)}\right)}^2=1$ Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю: $\frac{a^2{\sin }^2\left(\alpha \right)+b^2+2ab\cos \left(\alpha \right)+a^2{\cos }^2\left(\alpha \right)}{4R^2{\sin }^2\left(\alpha \right)}=1$ Учитывая $a^2\left({\sin }^2\right(\alpha )+{\cos }^2(\alpha \left)\right)=a^2$: $4R^2{\sin }^2\left(\alpha \right)=a^2+b^2+2ab\cos \left(\alpha \right)$ Ответ: $R=\frac{\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \left(\alpha \right)}}{2\sin \left(\alpha \right)}$ Укажите, требуется ли вам вывод аналогичной формулы для случая, когда известны все четыре стороны четырехугольника.