Решите уравнение log(4x+5)осн5=2+log(x-4)осн5

Для решения уравнения ${\log }_5(4x+5)=2+{\log }_5(x-4)$ воспользуемся свойствами логарифмов и определением логарифмической функции. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля:

1. $4x+5>0⟹4x>-5⟹x>-1.25$ $x-4>0⟹x>4$

Общим условием для системы неравенств является $x>4$. 2. Преобразование уравнения Представим число $2$ в виде логарифма по основанию $5$: $2={\log }_5\left(5^2\right)={\log }_5\left(25\right)$Теперь подставим это в исходное уравнение: ${\log }_5(4x+5)={\log }_5\left(25\right)+{\log }_5(x-4)$Используем свойство суммы логарифмов ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$: ${\log }_5(4x+5)={\log }_5(25\cdot (x-4\left)\right)$3. Решение линейного уравнения Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $4x+5=25(x-4)$Раскроем скобки в правой части: $4x+5=25x-100$Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую: $5+100=25x-4x$ $105=21x$Разделим обе части на $21$: $x=\frac{105}{21}$ $x=5$4. Проверка по ОДЗ Полученное значение $x=5$ удовлетворяет условию $x>4$. Ответ: $5$ Я могу помочь вам с решением других логарифмических уравнений или неравенств. Хотите разобрать более сложный пример с переменным основанием?