Исследовать функцию и построить график: y = e^-x

Для исследования функции $y=e^{-x}$ (экспоненциальная функция с отрицательным показателем) воспользуемся стандартным алгоритмом математического анализа. 1. Общие свойства функции

• Область определения ( $D\left(y\right)$): Функция определена для всех действительных чисел, так как экспонента существует при любом значении аргумента.
  $D\left(y\right)=(-\infty ;+\infty )$ Область значений ( $E\left(y\right)$): Поскольку основание экспоненты $e\approx 2,718$ положительно, функция всегда принимает только положительные значения.
  $E\left(y\right)=(0;+\infty )$ Четность/нечетность:
  $f(-x)=e^{-(-x)}=e^x$.
  Так как $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$, функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Периодичность: Функция не является периодической.

2. Точки пересечения с осями координат

• С осью $OY$ (при $x=0$):
  $y=e^0=1$. Точка: (0, 1). С осью $OX$ (при $y=0$):
  Уравнение $e^{-x}=0$ не имеет решений, так как $e^a>0$ всегда. График не пересекает ось абсцисс.

3. Пределы и асимптоты

• Вертикальные асимптоты: Отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.
• Горизонтальные асимптоты:
  • При $x+\infty$: $\underset{x+\infty }{\lim }{e}^{-x}=0$. Следовательно, прямая $y=0$ является правосторонней горизонтальной асимптотой. При $x-\infty$: $\underset{x-\infty }{\lim }{e}^{-x}=+\infty$. Слева асимптот нет.

4. Исследование с помощью первой производной Находим производную функции: $y^{\prime }=(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$

• Критические точки: Решим $y^{\prime }=0$. Уравнение $-e^{-x}=0$ не имеет решений. Монотонность: Так как $e^{-x}>0$ для любого $x$, то $y^{\prime }=-e^{-x}<0$ всегда.
  Функция убывает на всей области определения $(-\infty ;+\infty )$. Экстремумов нет.

5. Исследование с помощью второй производной Находим вторую производную: $y^{\prime \prime }=(-e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}\cdot (-1)=e^{-x}$

• Точки перегиба: Решим $y^{\prime \prime }=0$. Решений нет. Выпуклость/вогнутость: Так как $y^{\prime \prime }=e^{-x}>0$ для всех $x$, график функции всегда вогнут (направлен выпуклостью вниз).

6. Построение графика Для точного построения вычислим несколько дополнительных значений:

Вид графика:

1. Линия плавно спускается из бесконечности слева сверху.
2. Проходит через точку (0, 1).
3. Постепенно прижимается к оси $OX$ (справа), никогда ее не касаясь.

Я могу также исследовать более сложную функцию, содержащую экспоненту, например, $y=x\cdot e^{-x}$. Хотите рассмотреть такой вариант?