5^x*на кубический корень из 8^(x-1)=500

Чтобы решить уравнение $5^x\cdot \sqrt[3]{8^{x-1}}=500$ , приведем обе части к удобному виду и воспользуемся свойствами степеней. 1. Преобразование уравнения Сначала упростим корень и приведем основание $8$ к основанию $2$:

• $\sqrt[3]{8^{x-1}}=(8^{x-1}{)}^{1/3}=8^{(x-1)/3}$ Так как $8=2^3$, то $8^{(x-1)/3}=(2^3{)}^{(x-1)/3}=2^{3\cdot \frac{x-1}{3}}=2^{x-1}$

Теперь подставим это в исходное уравнение: $5^x\cdot 2^{x-1}=500$2. Упрощение левой части Разложим $2^{x-1}$ на множители, используя свойство $a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}$ : $5^x\cdot \frac{2^x}{2^1}=500$ Умножим обе части уравнения на $2$, чтобы избавиться от знаменателя: $5^x\cdot 2^x=1000$Используем свойство степеней $a^n\cdot b^n=(a\cdot b{)}^n$: $(5\cdot 2{)}^x=1000$ ${10}^x=1000$3. Нахождение значения $x$ Представим $1000$ как степень числа $10$: ${10}^x={10}^3$Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $x=3$ Проверка Подставим $x=3$ в исходное уравнение:

1. $5^3=125$ $\sqrt[3]{8^{3-1}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$ $125\cdot 4=500$
   Равенство верно.

Ответ: 3 Я могу также помочь с решением систем показательных уравнений или логарифмов. Желаете рассмотреть аналогичный пример?