Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной

Теорема о свойстве касательной к окружности Формулировка: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Доказательство Для доказательства воспользуемся методом от противного. 1. Исходные данные:

• Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Линия $a$ — касательная к окружности, касающаяся её в точке $A$. $OA$ — радиус, проведённый в точку касания.

2. Предположение от противного: Предположим, что радиус $OA$ не перпендикулярен прямой $a$. В таком случае из точки $O$ на прямую $a$ можно опустить перпендикуляр $OH$, который не совпадает с $OA$. 3. Анализ конструкции:

• Если $OH⟂a$, то в образовавшемся прямоугольном треугольнике $OHA$ отрезок $OH$ является катетом, а $OA$ — гипотенузой. Из свойств прямоугольного треугольника известно, что гипотенуза всегда больше катета: $OA>OH$.

4. Противоречие:

• Так как $OH<OA$, а $OA$ равен радиусу окружности ( $R$), то точка $H$ должна находиться внутри окружности. Если одна точка прямой ( $H$) находится внутри окружности, то такая прямая является секущей, а не касательной (она пересекает окружность в двух точках). Это противоречит условию теоремы, согласно которому прямая $a$ является касательной и имеет с окружностью только одну общую точку $A$.

5. Вывод: Наше предположение о том, что $OA$ не перпендикулярен $a$, было ложным. Следовательно, $OA⟂a$. Теорема доказана. Обратная теорема (Признак касательной) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной. Это свойство часто используется в задачах на построение и при вычислении углов в геометрии. Хотите, чтобы я разобрал решение типовой задачи, в которой применяется это свойство?