Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 дм, а двугранный угол при боковом ребре - 120 градусов. найдите высоту пирамиды.

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 1 дм. ️ Шаг 1: Анализ геометрической конструкции Пусть $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида с основанием $ABCD$ и вершиной $S$. Точка $O$ — центр основания, $SO=H$ — искомая высота. Сторона основания $a=2$. Диагональ основания $BD=a\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ , тогда $OC=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$ . Двугранный угол при боковом ребре $SC$ образован плоским углом $\angle BKD={120}^{\circ }$, где $BK⟂SC$ и $DK⟂SC$. ️ Шаг 2: Нахождение высоты треугольника боковой грани Рассмотрим равнобедренный $△BKD$. Отрезок $KM$ — его медиана и высота к основанию $BD$ (где $M$ совпадает с $O$). Из прямоугольного $△BKO$: $\sin (\angle BKO)=\sin \left({60}^{\circ }\right)=\frac{BO}{BK}$ $BK=\frac{BO}{\sin \left({60}^{\circ }\right)}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ Здесь $BK$ является высотой боковой грани $SBC$, проведенной к боковому ребру $SC$. ️ Шаг 3: Вычисление длины бокового ребра Пусть боковое ребро $SC=L$. Площадь боковой грани $△SBC$ можно выразить двумя способами: через высоту $BK$ и через апофему $h_s$. Апофема $h_s=\sqrt{L^2-(a/2{)}^2}=\sqrt{L^2-1}$ . $\frac{1}{2}\cdot L\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_s$ $L\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\cdot \sqrt{L^2-1}$ Возведем в квадрат: $\frac{8L^2}{3}=4(L^2-1)\frac{2L^2}{3}=L^2-1$ $\frac{1}{3}{L}^2=1L^2=3$ ️ Шаг 4: Расчет высоты пирамиды Из прямоугольного $△SOC$ по теореме Пифагора: $H^2=L^2-O{C}^2$ $H^2=3-(\sqrt{2}{)}^2=3-2=1$ $H=1$ Ответ: Высота пирамиды составляет 1 дм. Сообщите, необходимо ли рассчитать объем или площадь полной поверхности данной пирамиды?