Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см. каковы долдны быть их длины, чтобы гипотенуза треугольника была наименьшей?

Длины катетов должны быть равны 7.5 см и 7.5 см. Шаг 1: Составление функции Пусть $a$ и $b$ — длины катетов прямоугольного треугольника в сантиметрах. По условию их сумма равна $15$, следовательно, $a+b=15$. Выразим один катет через другой: $b=15-a$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $c^2$ вычисляется по формуле $c^2=a^2+b^2$. Чтобы минимизировать гипотенузу $c$, достаточно минимизировать её квадрат. Подставим выражение для $b$ в формулу: $f\left(a\right)=a^2+(15-a{)}^2$Развернем выражение: $f\left(a\right)=a^2+225-30a+a^2=2a^2-30a+225$Шаг 2: Нахождение минимума через производную Полученная функция $f\left(a\right)$ является квадратичной зависимостью, графиком которой служит парабола с ветвями, направленными вверх. Минимум такой функции достигается в её вершине. Найдем производную функции по $a$ и приравняем её к нулю: $f^{\prime }\left(a\right)=(2a^2-30a+225{)}^{\prime }=4a-30$Приравняем производную к нулю для поиска критической точки: $4a-30=0$ $4a=30$ $a=7.5$Шаг 3: Определение длин обоих катетов Мы нашли значение первого катета $a=7.5$. Теперь вычислим значение второго катета $b$: $b=15-7.5=7.5$Таким образом, гипотенуза будет минимальной в том случае, если прямоугольный треугольник является равнобедренным. Ответ: Длины катетов должны составлять 7.5 см и 7.5 см. Сообщите, если вам требуется разобрать решение аналогичной задачи на экстремумы для других геометрических фигур.