Найдите значение выражения корень из 108cos^2 пи/12 - корень из 27

Значение выражения $\sqrt{108}{\cos }^2\left(\frac{\pi }{12}\right)-\sqrt{27}$ равно 4.5. Шаг 1: Упрощение иррациональных выражений Для начала упростим квадратные корни, вынеся множители из-под знака корня:

1. Выражение $\sqrt{108}$ можно представить как $\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}$ . Выражение $\sqrt{27}$ можно представить как $\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$ .

Подставим полученные значения в исходное выражение: $6\sqrt{3}{\cos }^2\left(\frac{\pi }{12}\right)-3\sqrt{3}$ Шаг 2: Вынесение общего множителя и применение тригонометрической формулы Заметим, что в выражении есть общий множитель $3\sqrt{3}$ . Вынесем его за скобки: $3\sqrt{3}(2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{12}\right)-1)$ Выражение в скобках соответствует формуле косинуса двойного аргумента: $\cos \left(2\alpha \right)=2{\cos }^2\left(\alpha \right)-1$. В нашем случае $\alpha =\frac{\pi }{12}$ , следовательно: $2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{12}\right)-1=\cos (2\cdot \frac{\pi }{12})=\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)$ Шаг 3: Вычисление окончательного значения Используя табличное значение $\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , произведем финальный расчет: $3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot (\sqrt{3}\cdot \sqrt{3})}{2}=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}=4.5$ Ответ: Значение выражения составляет 4.5. Нужно ли вам разложить другие тригонометрические функции или упростить подобные иррациональные уравнения?